Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir endüstriyel üretim tesisinde üretilen hassas bir makine parçasının aşınma tolerans değerleri XX rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX'in olasılık yoğunluk fonksiyonu θ>0\theta > 0 olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)=12πθ2exp⁡(−(x−θ)22θ2),−∞<x<∞f(x;\theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta^2}} \exp\left( -\frac{(x-\theta)^2}{2\theta^2} \right), \quad -\infty < x < \infty

Bu üretim hattından nn çaplı bağımsız rastgele örneklem alınmıştır.

Buna göre, kitle varyansı olan τ(θ)=θ2\tau(\theta) = \theta^2 parametresinin yansız bir tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 4θ43n\frac{4\theta^4}{3n}Cevap
  2. B
    θ23n\frac{\theta^2}{3n}
  3. C
    4θ4n\frac{4\theta^4}{n}
  4. D
    2θ4n\frac{2\theta^4}{n}
  5. E
    4θ43\frac{4\theta^4}{3}

Cevap

İstenen parametrenin yansız tahmin edicisi için Cramer-Rao alt sınırı 4θ43n\frac{4\theta^4}{3n} olarak bulunur.
Cramer-Rao alt sınırını (CRLB) bulmak için öncelikle Fisher bilgisi hesaplanmalıdır. X∼N(θ,θ2)X \sim N(\theta, \theta^2) dağılımının log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre ikinci türevi alındığında ve eksi beklenen değeri hesaplandığında, tek bir gözlem için Fisher bilgisi I1(θ)=3θ2I_1(\theta) = \frac{3}{\theta^2} olarak bulunur. nn çaplı örneklem için bu değer nn ile çarpılarak In(θ)=3nθ2I_n(\theta) = \frac{3n}{\theta^2} elde edilir. Soruda bizden kitle varyansı olan τ(θ)=θ2\tau(\theta) = \theta^2 parametresinin yansız tahmin edicisi için alt sınır istenmektedir. Alt sınır formülünün pay kısmı için τ′(θ)=2θ\tau'(\theta) = 2\theta alınır ve formül uygulandığında CRLB=(2θ)23n/θ2=4θ43n\text{CRLB} = \frac{(2\theta)^2}{3n/\theta^2} = \frac{4\theta^4}{3n} doğru sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen dağılım için tek bir gözlemin log-olabilirlik fonksiyonunu ln⁡f(x;θ)\ln f(x;\theta) elde etmek.
ln⁡f(x;θ)=−12ln⁡(2π)−ln⁡θ−x2−2xθ+θ22θ2=−12ln⁡(2π)−ln⁡θ−x22θ2+xθ−12\ln f(x;\theta) = -\frac{1}{2}\ln(2\pi) - \ln\theta - \frac{x^2 - 2x\theta + \theta^2}{2\theta^2} = -\frac{1}{2}\ln(2\pi) - \ln\theta - \frac{x^2}{2\theta^2} + \frac{x}{\theta} - \frac{1}{2}
Fisher bilgi matrisini bulmak için dağılımın logaritmasına ve bu ifadenin parametreye göre türevlerine ihtiyaç vardır.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta'ya göre birinci ve ikinci mertebeden kısmi türevlerini almak.
Birinci türev: ∂ln⁡f∂θ=−1θ+x2θ3−xθ2\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x^2}{\theta^3} - \frac{x}{\theta^2}.
İkinci türev: ∂2ln⁡f∂θ2=1θ2−3x2θ4+2xθ3\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{3x^2}{\theta^4} + \frac{2x}{\theta^3}.
Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun ikinci türevinin beklenen değerinin negatifini almamız gerekir.
3
Tek bir gözlem için Fisher bilgisi olan I1(θ)=−E[∂2ln⁡f∂θ2]I_1(\theta) = -E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}\right] değerini hesaplamak.
Dağılımdan E[X]=θE[X] = \theta ve E[X2]=Var(X)+(E[X])2=θ2+θ2=2θ2E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2 = \theta^2 + \theta^2 = 2\theta^2 olduğu bilinmektedir. İkinci türevde yerlerine konulduğunda:
E[∂2ln⁡f∂θ2]=1θ2−3(2θ2)θ4+2θθ3=1θ2−6θ2+2θ2=−3θ2E\left[\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2}\right] = \frac{1}{\theta^2} - \frac{3(2\theta^2)}{\theta^4} + \frac{2\theta}{\theta^3} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{6}{\theta^2} + \frac{2}{\theta^2} = -\frac{3}{\theta^2}.
Böylece I1(θ)=3θ2I_1(\theta) = \frac{3}{\theta^2} ve nn örneklem için In(θ)=3nθ2I_n(\theta) = \frac{3n}{\theta^2} olur.
Cramer-Rao alt sınırının paydasını oluşturacak örneklem Fisher bilgisini (InI_n) bulmak.
4
Tahmin edilmek istenen τ(θ)=θ2\tau(\theta) = \theta^2 parametresi için Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulamak.
τ′(θ)=2θ\tau'(\theta) = 2\theta elde edilir. Formülde yerine konulduğunda:
CRLB=[τ′(θ)]2In(θ)=(2θ)23n/θ2=4θ23n/θ2=4θ43n\text{CRLB} = \frac{[\tau'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{(2\theta)^2}{3n/\theta^2} = \frac{4\theta^2}{3n/\theta^2} = \frac{4\theta^4}{3n} sonucuna ulaşılır.
Parametrenin bir fonksiyonu (burada kitle varyansı olan θ2\theta^2) tahmin edildiğinde, alt sınır formülünün pay kısmına o fonksiyonun türevinin karesi gelmelidir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Fisher Bilgi Matrisi
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru