Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Güven Aralığı

Bir tarım araştırmacısı, iki farklı gübre türünün (A ve B) buğday verimi üzerindeki etkisini karşılaştırmak istemektedir. Araştırmacı, A gübresini kullanan 10 farklı tarladan ve B gübresini kullanan 15 farklı tarladan elde edilen hektar başına verim miktarlarını (ton) ölçmüştür. Elde edilen özet istatistikler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Gübre TürüÖrneklem Hacmi (nn)Örneklem Ortalaması (xˉ\bar{x})Örneklem Varyansı (s2s^2)
A108540
B157963

Her iki gübre türü için de verim miktarlarının normal dağılıma sahip olduğu ve popülasyon varyanslarının birbirine eşit olduğu (σA2=σB2\sigma_A^2 = \sigma_B^2) bilinmektedir. Ancak varyansların gerçek değerleri bilinmemektedir.

Bazı kritik değerler şöyledir: t0,025;23=2,069t_{0,025; 23} = 2,069, t0,025;24=2,064t_{0,025; 24} = 2,064, t0,025;25=2,060t_{0,025; 25} = 2,060, z0,025=1,960z_{0,025} = 1,960.

Buna göre, A ve B gübrelerinin gerçek popülasyon ortalamaları arasındaki fark (μA−μB\mu_A - \mu_B) için %95 güven düzeyindeki güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. [−0,21;12,21][-0,21; 12,21]Cevap
  2. B
    [0,08;11,92][0,08; 11,92]
  3. C
    [−0,18;12,18][-0,18; 12,18]
  4. D
    [0,12;11,88][0,12; 11,88]
  5. E
    [−0,06;12,06][-0,06; 12,06]

Cevap

Doğru güven aralığı [−0,21;12,21][-0,21; 12,21] aralığını veren seçenektir.
Varyansların eşit olduğu bilindiği ancak değerlerinin bilinmediği iki bağımsız örneklem durumunda, ortak varyans (sp2s_p^2) hesaplanmalıdır. sp2=54s_p^2 = 54 olarak bulunur. Standart hata 54(1/10+1/15)=3\sqrt{54(1/10 + 1/15)} = 3'tür. Serbestlik derecesi nA+nB−2=23n_A+n_B-2=23'tür. Nokta tahmini (85−79=685-79=6) etrafında kurulan aralık 6±(2,069×3)6 \pm (2,069 \times 3) işlemiyle [−0,207;12,207][-0,207; 12,207] olarak elde edilir ve bu da yaklaşık [−0,21;12,21][-0,21; 12,21]'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortalamalar arası farkın nokta tahminini hesaplayın.
xˉA−xˉB=85−79=6\bar{x}_A - \bar{x}_B = 85 - 79 = 6
Güven aralığının merkezi, iki örneklemin ortalamaları arasındaki farktır.
2
Popülasyon varyansları eşit ancak bilinmediği için ortak varyansı (sp2s_p^2) hesaplayın.
sp2=(nA−1)sA2+(nB−1)sB2nA+nB−2=9(40)+14(63)23=360+88223=124223=54s_p^2 = \frac{(n_A - 1)s_A^2 + (n_B - 1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{9(40) + 14(63)}{23} = \frac{360 + 882}{23} = \frac{1242}{23} = 54
Varyanslar eşit olduğunda, daha iyi bir varyans tahmini elde etmek için iki örneklemin varyansları serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılarak birleştirilir.
3
Ortalamalar farkının standart hatasını (SESE) hesaplayın.
SE=sp2(1nA+1nB)=54(110+115)=54(530)=54×16=9=3SE = \sqrt{s_p^2 (\frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B})} = \sqrt{54 (\frac{1}{10} + \frac{1}{15})} = \sqrt{54 (\frac{5}{30})} = \sqrt{54 \times \frac{1}{6}} = \sqrt{9} = 3
Ortak varyans kullanılarak örnekleme dağılımının standart hatası bulunur.
4
Serbestlik derecesini (df) ve uygun kritik değeri belirleyin.
df=nA+nB−2=10+15−2=23df = n_A + n_B - 2 = 10 + 15 - 2 = 23. %95 güven düzeyi için (α/2=0,025\alpha/2 = 0,025) kritik değer: t0,025;23=2,069t_{0,025; 23} = 2,069
Örneklem varyansları kullanıldığı için z yerine t dağılımı kullanılmalıdır.
5
Hata payını (ME) ve güven aralığı sınırlarını hesaplayın.
ME=2,069×3=6,207ME = 2,069 \times 3 = 6,207. Aralık: 6±6,207⇒[−0,207;12,207]6 \pm 6,207 \Rightarrow [-0,207; 12,207] (Yuvarlandığında: [−0,21;12,21][-0,21; 12,21])
Nokta tahmininden hata payı çıkarılarak alt sınır, eklenerek üst sınır bulunur.

Anahtar Kavram

İki kitle ortalamaları farkı için ortak varyans (pooled variance) kullanarak güven aralığı hesaplama
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Ortalamaları Farkı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru