X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir: f(… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Buna göre, $Y = \frac{1}{2}$ verildiğinde $X$ 'in koşullu beklenen değeri olan $E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right]$ kaçtır?

Doğru değer

\frac{1}{3}

olarak bulunur.

Koşullu beklenen değer bulunurken, öncelikle Y'nin verilen değerdeki marjinal olasılık yoğunluğu (

f_Y(1/2) = 1/2

) bulunur. Ardından

f(x, 1/2)

ortak olasılığı bu marjinal değere bölünerek koşullu olasılık fonksiyonu olan

8x

elde edilir. Son olarak

x

ile çarpılarak

0

'dan

1/2

'ye kadar integre edildiğinde sonuç

\frac{1}{3}

çıkar.

Y

'nin marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y)

bulmak.

f_Y(y) = \int_{0}^{y} 8xy \, dx = 4y \left[x^2\right]_0^y = 4y^3

(

0 < y < 1

için).

Koşullu yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için Y'nin marjinal dağılımına ihtiyaç vardır.

Y = \frac{1}{2}

için marjinal yoğunluk değerini hesaplamak.

f_Y\left(\frac{1}{2}\right) = 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 = 4 \left(\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{2}

Koşullu olasılık formülünde paydayı belirlemek için bu marjinal değere ihtiyaç vardır.

X

'in

Y = \frac{1}{2}

verildiğindeki koşullu olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_{X|Y}\left(x \Big| \frac{1}{2}\right)

bulmak.

f_{X|Y}\left(x \Big| \frac{1}{2}\right) = \frac{f(x, 1/2)}{f_Y(1/2)} = \frac{8x(1/2)}{1/2} = 8x

(

0 < x < \frac{1}{2}

için).

Koşullu beklenen değeri hesaplamak için

X

'in bu koşul altındaki dağılım kuralı ve yeni tanım aralığı bilinmelidir.

E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right]

değerini integral yardımıyla hesaplamak.

E\left[X \Big| Y = \frac{1}{2}\right] = \int_{0}^{1/2} x (8x) \, dx = \int_{0}^{1/2} 8x^2 \, dx = \left[ \frac{8x^3}{3} \right]_0^{1/2} = \frac{8(1/8)}{3} = \frac{1}{3}

Koşullu beklenen değer, değişkenin kendisi (

x

) ile koşullu yoğunluk fonksiyonunun koşul sınırları içinde integre edilmesiyle bulunur.

Koşullu Beklenen Değer ve Ortak Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

Soru