Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Afet ve Acil Durum Yönetimi Başkanlığı (AFAD) tarafından yönetilen bölgesel bir kriz koordinasyon merkezinin günlük teyakkuz durumu, S={1,2,3,4,5}S = \{1, 2, 3, 4, 5\} durum uzayında tanımlı homojen bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu durum uzayında 1 ve 2 düşük riskli durumları, 3 değerlendirme durumunu, 4 ve 5 ise yüksek riskli durumları temsil etmektedir.

Sistemin günlük geçiş olasılıkları matrisi PP aşağıdaki gibi verilmiştir:

P=[040600005050000200300500008020000703] P = \begin{bmatrix} 0{}4 & 0{}6 & 0 & 0 & 0 \\ 0{}5 & 0{}5 & 0 & 0 & 0 \\ 0{}2 & 0 & 0{}3 & 0 & 0{}5 \\ 0 & 0 & 0 & 0{}8 & 0{}2 \\ 0 & 0 & 0 & 0{}7 & 0{}3 \end{bmatrix}

Sistem başlangıçta 3 numaralı teyakkuz durumunda (X0=3X_0 = 3) olduğuna göre, uzun dönemde sistemin 4 numaralı teyakkuz durumunda bulunma olasılığı, yani lim⁡n→∞P(Xn=4∣X0=3)\lim_{n \to \infty} P(X_n = 4 \mid X_0 = 3) limiti aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 59\frac{5}{9}Cevap
  2. B
    79\frac{7}{9}
  3. C
    718\frac{7}{18}
  4. D
    514\frac{5}{14}
  5. E
    29\frac{2}{9}

Cevap

59\frac{5}{9}
Doğru cevaba ulaşmak için öncelikle Markov zincirindeki durumlar sınıflandırılmalıdır. Matris incelendiğinde {1, 2} durumlarının kendi içinde kapalı C1C_1 sınıfını, {4, 5} durumlarının ise kendi içinde kapalı C2C_2 sınıfını oluşturduğu, 3 numaralı durumun ise her iki sınıfa da geçiş verebilen bir geçici (transient) durum olduğu görülür. 3 numaralı durumdan başlayan sürecin uzun dönemde 4 numaralı durumda olma olasılığı, sistemin C2C_2 sınıfına yutulma olasılığı ile C2C_2 sınıfının kendi içindeki kararlı durum olasılığının çarpımına eşittir.

Geçici 3 durumundan C2C_2 sınıfına yutulma olasılığı: a3,C2=P3,4+P3,5+P3,3⋅a3,C2⇒a3,C2=0+05+03⋅a3,C2⇒a3,C2=57a_{3,C_2} = P_{3,4} + P_{3,5} + P_{3,3} \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow a_{3,C_2} = 0 + 0{}5 + 0{}3 \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow a_{3,C_2} = \frac{5}{7} olarak bulunur.

C2C_2 sınıfı ({4, 5}) için kendi alt matrisi üzerinden kararlı durum olasılıkları hesaplandığında: π4=08π4+07π5\pi_4 = 0{}8\pi_4 + 0{}7\pi_5 ve π4+π5=1\pi_4 + \pi_5 = 1 denklem sisteminden π4=79\pi_4 = \frac{7}{9} bulunur.

Sonuç olarak, istenen limit olasılığı: 57×79=59\frac{5}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{5}{9} olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Markov zincirinin durumlarını sınıflandırın.
C1={1,2}C_1 = \{1, 2\} öz yineli (kapalı) sınıf, C2={4,5}C_2 = \{4, 5\} öz yineli (kapalı) sınıf, T={3}T = \{3\} ise geçici (transient) durumdur.
Sınır olasılığını hesaplayabilmek için sistemin hangi alt zincirlere ayrıştığını ve yutucu yapıları belirlemek gerekir.
2
3 numaralı geçici durumdan C2C_2 sınıfına (hedef sınıfa) yutulma olasılığını (a3,C2a_{3,C_2}) hesaplayın.
a3,C2=P3,4+P3,5+P3,3⋅a3,C2⇒a3,C2=0+05+03⋅a3,C2⇒07⋅a3,C2=05⇒a3,C2=57a_{3,C_2} = P_{3,4} + P_{3,5} + P_{3,3} \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow a_{3,C_2} = 0 + 0{}5 + 0{}3 \cdot a_{3,C_2} \Rightarrow 0{}7 \cdot a_{3,C_2} = 0{}5 \Rightarrow a_{3,C_2} = \frac{5}{7}
Sistem X0=3X_0 = 3'ten başladığı için, 4 numaralı durumun bulunduğu kapalı sınıfa nihai olarak girme ihtimalini bulmalıyız.
3
C2C_2 sınıfının kendi içindeki geçiş matrisini kullanarak 4 numaralı durumun kararlı (sınır) olasılığını (π4\pi_4) hesaplayın.
π4=08π4+07π5\pi_4 = 0{}8\pi_4 + 0{}7\pi_5 ve π4+π5=1\pi_4 + \pi_5 = 1 denklemlerinden 02π4=07(1−π4)⇒09π4=07⇒π4=790{}2\pi_4 = 0{}7(1 - \pi_4) \Rightarrow 0{}9\pi_4 = 0{}7 \Rightarrow \pi_4 = \frac{7}{9} elde edilir.
Sistem C2C_2 sınıfına yutulduktan sonra sonsuz adımda o sınıfın kendi kararlı durum dengesine ulaşacaktır.
4
Koşullu sınır olasılığını, yutulma olasılığı ile sınıf içi kararlı durum olasılığını çarparak elde edin.
lim⁡n→∞P(Xn=4∣X0=3)=a3,C2×π4=57×79=59\lim_{n \to \infty} P(X_n = 4 \mid X_0 = 3) = a_{3,C_2} \times \pi_4 = \frac{5}{7} \times \frac{7}{9} = \frac{5}{9}
Toplam Olasılık Teoremi gereğince, uzun dönemde 4 numaralı durumda olma olasılığı, o duruma ev sahipliği yapan sınıfa girme olasılığı ile sınıf içindeki nihai dengenin çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Geçici durumlardan yutucu (kapalı) sınıflara ulaşma (yutulma) olasılıkları ve çoklu öz yineli sınıflarda koşullu kararlı durum olasılıklarının hesaplanması.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları