Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNegatif Binom (Pascal) Dağılımı

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, şehir içi otobüslerde bulunan elektronik bilet okuyucularının periyodik bakımını yapmaktadır. Geçmiş istatistiklere göre, incelenen herhangi bir okuyucunun arızalı olma olasılığı 0,30'dur. İncelemeler birbirinden bağımsız olarak yapılmaktadır.

Buna göre, bakım ekibinin arızalı olan 4. okuyucuyu tam olarak 12. otobüs incelemesinde tespit etme olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

  1. A
    (124)(0,30)4(0,70)8\binom{12}{4} (0,30)^4 (0,70)^8
  2. B
    (153)(0,30)4(0,70)12\binom{15}{3} (0,30)^4 (0,70)^{12}
  3. (113)(0,30)4(0,70)8\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8Cevap
  4. D
    (123)(0,30)4(0,70)8\binom{12}{3} (0,30)^4 (0,70)^8
  5. E
    (113)(0,70)4(0,30)8\binom{11}{3} (0,70)^4 (0,30)^8

Cevap

(113)(0,30)4(0,70)8\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8 ifadesi, 4. arızalı okuyucunun tam olarak 12. incelemede bulunma olasılığını gösterir.
Soruda, sabit bir başarı sayısına (4. arızalı) ulaşmak için yapılan toplam bağımsız deneme sayısı (12. inceleme) incelenmektedir. Bu senaryo Negatif Binom dağılımına uyar. Dağılımın mantığı gereği, 12. deneme kesinlikle arızalı olmalıdır (olasılığı 0,300,30). Geriye kalan ilk 11 denemenin içinde ise tam olarak 3 arızalı cihaz bulunmalıdır (olasılığı (113)(0,30)3(0,70)8\binom{11}{3}(0,30)^3(0,70)^8). Bu iki durumun çarpımı genel formülü olan (k−1r−1)pr(1−p)k−r\binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} yapısını verir. Değerleri yerine koyduğumuzda (113)(0,30)4(0,70)8\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8 doğru olasılık ifadesi olur.

Adım Adım Çözüm

1
Problemin dağılım türünü belirleme.
Belirli bir sayıda başarıya (4. arıza) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (12. inceleme) sorulduğu için Negatif Binom (Pascal) Dağılımı kullanılır.
Deneme sayısı sabit değildir, başarı sayısı sabittir ve son deneme mutlaka başarılı (arızalı) olmak zorundadır.
2
Dağılım parametrelerini tanımlama.
Toplam deneme sayısı k=12k = 12, hedeflenen başarı sayısı r=4r = 4, başarı (arıza) olasılığı p=0,30p = 0,30, başarısızlık (sağlam) olasılığı 1−p=0,701-p = 0,70.
Formülde yerine koyulacak değerlerin sorudan doğru şekilde çekilmesi gerekir.
3
Negatif Binom dağılımı formülünü uygulama.
P(X=k)=(k−1r−1)pr(1−p)k−rP(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r} formülüne değerler yerleştirilir: P(X=12)=(12−14−1)(0,30)4(0,70)12−4P(X = 12) = \binom{12-1}{4-1} (0,30)^4 (0,70)^{12-4}
12. denemenin kesinlikle arızalı olması gerektiğinden, ilk 11 denemede tam olarak 3 arızalı okuyucu bulunması şartı kombinasyon ile hesaplanır.
4
İfadeyi sadeleştirme.
(113)(0,30)4(0,70)8\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8 sonucu elde edilir.
Matematiksel işlemlerin sonuçlandırılarak seçeneklerdeki forma getirilmesi.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımında r. Başarı İçin Geçen Deneme Sayısı
Bu soruyu puanla

Konular

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru