Negatif Binom (Pascal) Dağılımı Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumunda görevli bir iç denetçi, rastgele seçilen satın alma dosyalarını incelemektedir. Geçmiş verilere göre, bir dosyanın usulsüzlük (eksik evrak, hatalı imza vb.) içerme olasılığı $0,20$ 'dir.

Buna göre, iç denetçinin tam olarak $3.$ usulsüz dosyayı, incelediği $8.$ dosyada bulma olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

\binom{8}{3} (0,2)^3 (0,8)^5

\frac{7!}{5!} (0,2)^3 (0,8)^5

\binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5

\binom{10}{2} (0,2)^3 (0,8)^8

\binom{7}{2} (0,2)^2 (0,8)^6

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5$

Cevap

Doğru cevap, sonuncu incelemenin kesinlikle usulsüz dosya olduğunu ve önceki 7 incelemede 2 usulsüz dosyanın rastgele dağıldığını ifade eden

\binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5

formülüdür.

Negatif binom dağılımında, r. başarının k. denemede elde edilme olasılığı hesaplanırken; son denemenin (k. deneme) kesinlikle başarı olacağı garanti altına alınır. Bu nedenle kombinasyon hesabı ilk (k-1) denemeden (r-1) başarı seçilerek yapılır. Sorumuzda k=8, r=3, p=0,2 ve q=0,8'dir. İlk 7 dosyadan 2'sinin usulsüz olma durumu

\binom{7}{2}

şeklinde ifade edilir, toplamda 3 usulsüz ve 5 temiz dosya olasılıkları çarpılarak doğru ifadeye ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Sorudaki süreci modelleyecek uygun olasılık dağılımını belirleme.

Bağımsız denemeler yapılıyor ve r. başarıya (3. usulsüz dosya) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (8) aranıyor. Bu durum Negatif Binom (Pascal) Dağılımı ile modellenir.

Belirli sayıda başarı elde edilene kadar yapılan deneme sayısının olasılıkları Negatif Binom dağılımı ile hesaplanır.

2

Dağılım parametrelerini tanımlama.

Başarı olasılığı (p) = 0,20, Başarısızlık olasılığı (q) = 1 - 0,20 = 0,80. Hedeflenen başarı sayısı (r) = 3, Toplam deneme sayısı (k) = 8.

Formülü doğru kurabilmek için olaydaki tüm değişkenlerin sayısal karşılıkları netleştirilmelidir.

3

Negatif Binom olasılık fonksiyonunu uygulama.

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r q^{k-r}

formülünde değerler yerine konur.

8. denemenin kesinlikle başarı (usulsüz dosya) olacağı bilindiğinden, kombinasyon işlemi sadece ilk 7 denemedeki 2 başarının dağılımı için yapılır.

4

Matematiksel ifadeyi oluşturma.

P(X=8) = \binom{8-1}{3-1} (0,20)^3 (0,80)^{8-3} = \binom{7}{2} (0,2)^3 (0,8)^5

elde edilir.

Seçeneklerde hesaplamanın nihai sonucu değil, ifadenin kuruluşu sorulduğu için işlem bu adımda bırakılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı Olasılık Fonksiyonu

Soru 2Soru →

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım dairesi, şehir içi otobüslerde bulunan elektronik bilet okuyucularının periyodik bakımını yapmaktadır. Geçmiş istatistiklere göre, incelenen herhangi bir okuyucunun arızalı olma olasılığı 0,30'dur. İncelemeler birbirinden bağımsız olarak yapılmaktadır.

Buna göre, bakım ekibinin arızalı olan 4. okuyucuyu tam olarak 12. otobüs incelemesinde tespit etme olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

\binom{12}{4} (0,30)^4 (0,70)^8

\binom{15}{3} (0,30)^4 (0,70)^{12}

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

\binom{12}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

\binom{11}{3} (0,70)^4 (0,30)^8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8$

Cevap

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

ifadesi, 4. arızalı okuyucunun tam olarak 12. incelemede bulunma olasılığını gösterir.

Soruda, sabit bir başarı sayısına (4. arızalı) ulaşmak için yapılan toplam bağımsız deneme sayısı (12. inceleme) incelenmektedir. Bu senaryo Negatif Binom dağılımına uyar. Dağılımın mantığı gereği, 12. deneme kesinlikle arızalı olmalıdır (olasılığı

0,30

). Geriye kalan ilk 11 denemenin içinde ise tam olarak 3 arızalı cihaz bulunmalıdır (olasılığı

\binom{11}{3}(0,30)^3(0,70)^8

). Bu iki durumun çarpımı genel formülü olan

\binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

yapısını verir. Değerleri yerine koyduğumuzda

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

doğru olasılık ifadesi olur.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin dağılım türünü belirleme.

Belirli bir sayıda başarıya (4. arıza) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (12. inceleme) sorulduğu için Negatif Binom (Pascal) Dağılımı kullanılır.

Deneme sayısı sabit değildir, başarı sayısı sabittir ve son deneme mutlaka başarılı (arızalı) olmak zorundadır.

2

Dağılım parametrelerini tanımlama.

Toplam deneme sayısı

k = 12

, hedeflenen başarı sayısı

r = 4

, başarı (arıza) olasılığı

p = 0,30

, başarısızlık (sağlam) olasılığı

1-p = 0,70

.

Formülde yerine koyulacak değerlerin sorudan doğru şekilde çekilmesi gerekir.

3

Negatif Binom dağılımı formülünü uygulama.

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

formülüne değerler yerleştirilir:

P(X = 12) = \binom{12-1}{4-1} (0,30)^4 (0,70)^{12-4}

12. denemenin kesinlikle arızalı olması gerektiğinden, ilk 11 denemede tam olarak 3 arızalı okuyucu bulunması şartı kombinasyon ile hesaplanır.

4

İfadeyi sadeleştirme.

\binom{11}{3} (0,30)^4 (0,70)^8

sonucu elde edilir.

Matematiksel işlemlerin sonuçlandırılarak seçeneklerdeki forma getirilmesi.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımında r. Başarı İçin Geçen Deneme Sayısı

Soru 3Soru →

Bir gümrük müdürlüğünde görevli bir muayene memuru, yurtdışından gelen ticari konteynerleri sırasıyla incelemektedir. Geçmiş verilere göre, bir konteynerin evrak eksikliği nedeniyle 'detaylı fiziki muayene' gerektirme olasılığı (başarı olasılığı) $0,25$ 'tir. Konteynerlerin durumları birbirinden bağımsızdır. Memurun günlük yasal raporunu tamamlayabilmesi için detaylı fiziki muayene gerektiren toplam $3$ konteyner tespit etmesi gerekmektedir.

Buna göre, memurun aradığı $3.$ detaylı fiziki muayene gerektiren konteyneri, tam olarak incelediği $7.$ konteynerde (toplam deneme sayısında) bulma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

\binom{7}{3} (0,25)^3 (0,75)^4

\binom{9}{2} (0,25)^3 (0,75)^7

\frac{6!}{4!} (0,25)^3 (0,75)^4

\binom{6}{2} (0,75)^3 (0,25)^4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4$

Cevap

İstenilen olasılık

\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

ifadesidir.

Doğru yanıt, aranan hedefin (r=3) toplam n=7. denemede elde edilmesi kuralına dayanan Negatif Binom dağılımı formülünün doğru uygulanmış halidir.

P(X=n) = \binom{n-1}{r-1} p^r (1-p)^{n-r}

formülüne

n=7

,

r=3

ve

p=0,25

yerleştirildiğinde

\binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü belirleme.

Problemde ardışık bağımsız denemelerde, 'r. başarının n. denemede gerçekleşmesi' olasılığı sorulduğu için Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır.

Sabit deneme sayısında x başarı aransaydı Binom olurdu; ancak burada hedef başarı sayısına (3) ulaşılana kadar deneme (7) yapılmaktadır.

2

Dağılım parametrelerini tanımlama.

Başarı olasılığı

p = 0,25

, başarısızlık olasılığı

(1-p) = 0,75

, hedeflenen başarı sayısı

r = 3

, toplam deneme sayısı

n = 7

.

Soruda verilen olasılık ve hedefler doğrultusunda formülde kullanılacak değişkenleri saptamak.

3

Negatif Binom formülünü uygulama.

P(X = n) = \binom{n-1}{r-1} p^r (1-p)^{n-r}

denklemine sayıları yerleştirme.

Son denemenin kesinlikle başarı olması gerektiğinden, ilk (n-1) denemede (r-1) başarı seçilmesi gerekir.

4

İfadeyi matematiksel olarak sonuçlandırma.

P(X = 7) = \binom{7-1}{3-1} (0,25)^3 (0,75)^{7-3} = \binom{6}{2} (0,25)^3 (0,75)^4

İşlemin seçeneklerde istenen kapalı ve çarpan formatına getirilmesi.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 4Soru →

Hazine ve Maliye Bakanlığında görevli bir vergi müfettişi, belirli bir sektördeki işletmelerin KDV beyannamelerini sırasıyla incelemektedir. Yapılan ön analizlere göre, bu sektördeki herhangi bir beyannamede 'yüksek riskli' bir usulsüzlük bulunma olasılığı $0,10$ 'dur ve beyannamelerin durumu birbirinden bağımsızdır.

Müfettişin, sektör hakkında kapsamlı bir rapor hazırlayabilmesi için tam olarak 3 adet yüksek riskli beyanname tespit etmesi gerekmektedir.

Buna göre, müfettişin aradığı 3. yüksek riskli beyannameyi tam olarak 7. beyannameyi incelediğinde tespit etme olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

\binom{7}{3} (0,10)^3 (0,90)^4

\binom{9}{2} (0,10)^3 (0,90)^7

(0,10)^3 (0,90)^4

\binom{6}{2} (0,10)^4 (0,90)^3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4$

Cevap

Negatif Binom dağılımının kuralı gereği, 7. denemenin 3. başarı olabilmesi için ilk 6 denemede tam 2 başarı elde edilmelidir. Bu durum

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

formülü ile hesaplanır.

Soruda, 3. 'yüksek riskli' beyannameye (başarı,

r=3

) tam olarak 7. incelemede (deneme,

x=7

) ulaşılma olasılığı sorulmaktadır. Bu senaryo Negatif Binom (Pascal) dağılımını gerektirir. 7. incelemenin kesinlikle başarılı sonuçlanması şart koşulduğundan, ilk 6 incelemenin sadece 2'si başarılı olmalıdır. İlk 6 denemedeki bu durumun gerçekleşme olasılığı

\binom{6}{2} (0,10)^2 (0,90)^4

'tür. 7. denemenin de başarılı olma ihtimali olan

0,10

ile bu değer çarpıldığında sonuç

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Soruda verilen parametrelerin belirlenmesi

Başarı olasılığı

p=0,10

, hedeflenen başarı sayısı

r=3

, toplam deneme sayısı

x=7

olarak tespit edilir.

Kullanılacak olasılık dağılımını ve uygun formülü seçmek için temel parametrelere ihtiyaç vardır.

2

Dağılım türünün tespit edilmesi

Sabit bir başarı sayısına (

r=3

) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısının olasılığı arandığından Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır.

Binom dağılımı sabit denemedeki başarı sayısını verirken, Negatif Binom dağılımı sabit başarı için gereken deneme sayısını bulmakta kullanılır.

3

Negatif Binom formülünün uygulanması

P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}

genel formülünde değerler yerine yazıldığında

P(X = 7) = \binom{7-1}{3-1} (0,10)^3 (1-0,10)^{7-3}

işlemi elde edilir.

Son (7.) incelemenin kesinlikle aranan yüksek riskli beyanname (başarı) olması gerektiğinden, önceki 6 incelemede tam olarak 2 yüksek riskli beyanname bulunmalıdır.

4

Sonucun düzenlenmesi

Matematiksel ifade düzenlendiğinde olasılık değeri

\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4

olarak hesaplanır.

Kombinasyon terimi ve üslü ifadeler sadeleştirilerek seçeneklerdeki sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumunun bilgi işlem biriminde görevli bir uzman, sistemdeki ağ trafik raporlarını ardışık ve bağımsız olarak incelemektedir. Geçmiş istatistiklere göre, incelenen her bir raporun bir 'güvenlik tehdidi' içerme olasılığı $0,4$ ’tür. Uzman, toplamda $2$ . güvenlik tehdidini tespit ettiği anda inceleme sürecini sonlandıracaktır.

Buna göre, uzmanın inceleme sürecini tam olarak $3$ . raporu incelediğinde sonlandırma olasılığı kaçtır?

0,096

0,138

0,144

0,192

0,288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,192

Cevap

Uzmanın incelemeyi tam olarak 3. raporda tamamlama olasılığı 0,192'dir.

Negatif Binom dağılımında

r

adet başarıya tam olarak

k

denemede ulaşma olasılığı hesaplanırken, sonuncu denemenin (burada 3. rapor) mutlaka bir başarı (güvenlik tehdidi) olması gerektiği varsayılır. Bu durumda ilk 2 denemede tam 1 başarı gelmeli (

\binom{2}{1} \times 0,4 \times 0,6 = 0,48

) ve ardından 3. deneme başarı ile sonuçlanmalıdır (

0,48 \times 0,4 = 0,192

).

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım türünü ve parametreleri belirleme

r = 2

(hedeflenen başarı),

k = 3

(toplam deneme),

p = 0,4

(başarı olasılığı)

Belirli bir sayıda başarıya ulaşana kadar devam eden bağımsız denemeler Negatif Binom dağılımı ile modellenir.

2

Negatif Binom olasılık kütle fonksiyonunu kurma

P(X=3) = \binom{3-1}{2-1} (0,4)^2 (1-0,4)^{3-2}

Negatif Binom dağılımı için olasılık formülü

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

şeklindedir.

3

Matematiksel hesaplamayı tamamlama

\binom{2}{1} \times 0,16 \times 0,6 = 2 \times 0,096 = 0,192

Kombinasyon katsayısı ve olasılık bileşenlerinin çarpımı ile tam olarak 3. denemede durma olasılığı bulunur.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı

Daha Fazla Pratik

Benzer bir kurguda beklenen değer (ortalama) sorusu çözerek Negatif Binom dağılımının momentlerini pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 6Soru →

Bir kamu kurumunun teknik laboratuvarında görevli bir uzman, seri üretimden gelen devre kartlarını kalite kontrol testinden geçirmektedir. Geçmiş verilere göre bir kartın arızalı çıkma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Uzman, kartları sırayla ve birbirinden bağımsız olarak incelemekte ve 3. arızalı kartı bulduğunda işlemi sonlandırmaktadır. Buna göre, test işleminin tam olarak 5. kartın incelenmesiyle sonlanma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

10 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

4 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

(0,80)^4 \times 0,20

3 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2$

Cevap

İşlemin 5. kartta sonlanma olasılığı

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

değerine eşittir.

Negatif Binom dağılımı,

r

. başarının

k

. denemede elde edilme olasılığını hesaplar. Bu durumda testin 5. kartta bitmesi için, ilk 4 karttan herhangi 2 tanesinin arızalı çıkması (

\binom{4}{2}

) ve 5. kartın mutlaka arızalı çıkması (

p

) gerekir. Bu mantıkla katsayı

6

olarak bulunur ve olasılıklar

0,20^3

ile

0,80^2

şeklinde düzenlenir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılımın türünü ve parametrelerini belirleyin.

r = 3

(hedeflenen başarı sayısı),

k = 5

(toplam deneme sayısı),

p = 0,20

(başarı olasılığı).

Soruda belirli bir sayıdaki başarının (3. arızalı kart) belirli bir denemede (5. kart) gerçekleşme olasılığı sorulduğu için Negatif Binom dağılımı kullanılır.

2

Negatif Binom olasılık kütle fonksiyonunu yazın.

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

Dağılımın genel formülünü uygulamak için standart model seçilir.

3

Değerleri formülde yerine koyun.

P(X = 5) = \binom{5-1}{3-1} (0,20)^3 (0,80)^{5-3} = \binom{4}{2} (0,20)^3 (0,80)^2

Belirlenen parametreler formülün değişkenleriyle eşleştirilir.

4

Kombinasyon katsayısını hesaplayın.

\binom{4}{2} = \frac{4!}{2! \times 2!} = 6

İlk 4 denemede 2 başarının kaç farklı şekilde sıralanabileceği bulunur (son deneme daima başarıdır).

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Daha Fazla Pratik

Aynı senaryoda, testin sonuçlanması için gereken beklenen kart sayısını

E[X] = r/p

formülüyle hesaplayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

T.C. Tarım ve Orman Bakanlığında görevli bir ziraat mühendisi, ithal edilen tohum paketlerini kalite standartlarına uygunluk açısından sırasıyla incelemektedir. Her bir paketin kalite standartlarına uygun olma olasılığı $0,80$ olarak bilinmektedir. Buna göre, mühendisin incelediği paketler arasında $3$ . uygun paketi $4$ . incelemede bulma olasılığı kaçtır?

0,1024

0,2048

0,3072

0,4096

0,5120

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,3072

Cevap

Mühendisin 3. uygun paketi 4. incelemede bulma olasılığı 0,3072'dir.

Doğru cevap olan 0,3072 değeri, Negatif Binom dağılımı prensibine göre ilk 3 denemede 2 başarı ve 1 başarısızlık gelmesi olasılığı ile 4. denemenin mutlaka başarı gelmesi olasılığının çarpımıyla bulunur. Matematiksel olarak

\binom{3}{2} (0,8)^2 (0,2)^1 \times 0,8

işlemi sonucunda bu değere ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleme

p = 0,80

,

r = 3

ve

k = 4

Soruda belirtilen başarı olasılığı, hedef başarı sayısı ve toplam deneme sayısı Negatif Binom dağılımı parametrelerini oluşturur.

2

Negatif Binom (Pascal) dağılımı formülünü kurma

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

r

. başarının

k

. denemede gerçekleşmesi olasılığını hesaplamak için bu formül kullanılır.

3

Verileri formülde yerine koyarak hesaplama yapma

\binom{4-1}{3-1} (0,8)^3 (0,2)^{4-3} = \binom{3}{2} (0,512) (0,2) = 3 \times 0,1024 = 0,3072

Kombinasyon ve üslü sayılar çarpılarak kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir kamu kurumunun veri işleme merkezinde görevli bir istatistikçi, sisteme yüklenen dijital formları hatalı olup olmadıkları açısından sırasıyla ve birbirlerinden bağımsız olarak kontrol etmektedir. Yapılan geçmiş incelemelere göre bir formun hatalı çıkma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, istatistikçinin incelediği 5. formun, 3. hatalı form olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

10 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

21 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

4 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

(0,20)^3 \times (0,80)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2$

Cevap

İncelenilen 5. formun 3. hatalı form olma olasılığı

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

ifadesine eşittir.

Negatif Binom dağılımına göre,

r

. başarının

x

. denemede gelme olasılığı

\binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}

formülü ile hesaplanır.

x=5

ve

r=3

için katsayı

\binom{4}{2}=6

olur. Bu katsayının başarı olasılığının küpü (

0,20^3

) ve başarısızlık olasılığının karesi (

0,80^2

) ile çarpımı doğru sonucu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

x = 5

(toplam deneme sayısı),

r = 3

(hedeflenen başarı sayısı),

p = 0,20

(başarı olasılığı),

q = 1 - 0,20 = 0,80

(başarısızlık olasılığı).

Soruda belirli bir başarı sayısına (

r=3

) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısı (

x=5

) sorulduğu için Negatif Binom dağılımı parametreleri tanımlanmalıdır.

2

Negatif Binom (Pascal) olasılık kütle fonksiyonunu uygulayın.

P(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}

formülünde değerler yerine konulur:

P(X = 5) = \binom{5-1}{3-1} (0,20)^3 (0,80)^{5-3}

.

Pascal dağılımı,

r

. başarının tam olarak

x

. denemede gerçekleşme olasılığını hesaplamak için kullanılır.

3

Kombinasyon ve üstel ifadeleri düzenleyin.

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

. Buradan sonuç

6 \times (0,20)^3 \times (0,80)^2

olur.

Kombinasyon çarpanı, ilk 4 denemede gerçekleşen 2 başarının kaç farklı sırada gelebileceğini temsil eder.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı (Pascal Formu)

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumuna yapılacak personel alımı mülakatlarında komisyon üyesi adayları sırasıyla ve birbirlerinden bağımsız olarak değerlendirmektedir. Her bir adayın kurumun aranan kriterlerine uygun bulunma olasılığı $0,25$ olarak belirlenmiştir. Buna göre, komisyon üyesinin 3. uygun adayı 5. mülakatta bulma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

10 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

4 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

6 \times (0,25)^2 \times (0,75)^3

(0,25)^3 \times (0,75)^2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2$

Cevap

6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

ifadesi doğru olasılığı temsil eder.

Verilen senaryoda 3. başarının 5. denemede gerçekleşmesi istendiği için bu bir Negatif Binom problemidir. Parametreler

r=3

,

k=5

ve

p=0,25

olduğunda formül

P(X=5) = \binom{4}{2} (0,25)^3 (0,75)^2

şeklini alır ve

\binom{4}{2}=6

olduğu için doğru sonuç

6 \times (0,25)^3 \times (0,75)^2

olur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirle.

r = 3

(hedeflenen başarı sayısı),

k = 5

(toplam deneme sayısı),

p = 0,25

(başarı olasılığı).

Soruda 3. uygun adayın 5. denemede bulunması istendiği için Negatif Binom dağılımı kullanılır.

2

Negatif Binom olasılık fonksiyonunu uygula.

P(X=k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

Bu formül,

r

. başarının

k

. denemede elde edilme olasılığını verir.

3

Değerleri formülde yerine koy.

P(X=5) = \binom{5-1}{3-1} (0,25)^3 (1-0,25)^{5-3} = \binom{4}{2} (0,25)^3 (0,75)^2

Belirlenen parametrelerin matematiksel yerleşimi yapılır.

4

Kombinasyon değerini hesapla.

\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6

Formüldeki katsayıyı belirlemek için kombinasyon işlemi tamamlanır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom dağılımı, bağımsız Bernoulli denemelerinde belirli bir sayıdaki başarının (r), belirli bir toplam deneme sayısında (k) elde edilmesi durumundaki olasılığı hesaplamak için kullanılır.

Soru 10Soru →

Sağlık Bakanlığına bağlı bir laboratuvarda, analiz edilen her kan örneğinde belirli bir antikorun bulunma olasılığı $0,20$ olarak belirlenmiştir. Yapılan testlerin birbirinden bağımsız olduğu bilinmektedir. Buna göre, antikorun bulunduğu $2.$ örneğin $4.$ testte elde edilme olasılığı kaçtır?

0,0400

0,0768

0,1024

0,1536

0,0512

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,0768$

Cevap

0,0768

olasılık değeri doğrudur.

Verilen problemde başarı sayısı sabitlendiği ve bu başarının gerçekleştiği toplam deneme sayısı sorulduğu için Negatif Binom dağılımı kullanılır.

r=2

başarının

x=4

denemede gerçekleşmesi olasılığı, ilk

3

denemede

1

başarı elde edilmesi ve

4

. denemenin kesinlikle başarı olması durumudur. Bu da

\binom{3}{1} (0,20)^2 (0,80)^2 = 0,0768

sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin parametrelerini tanımlama

r = 2

(istenen başarı sayısı),

x = 4

(toplam deneme sayısı),

p = 0,20

(başarı olasılığı),

q = 1 - 0,20 = 0,80

(başarısızlık olasılığı)

Negatif Binom dağılımı, belirli bir sayıdaki başarıya ulaşmak için gereken deneme sayısını modeller.

2

Negatif Binom dağılımı formülünü uygulama

P(X=x) = \binom{x-1}{r-1} p^r q^{x-r}

formülünden

P(X=4) = \binom{4-1}{2-1} (0,20)^2 (0,80)^{4-2}

Son denemenin mutlaka başarıyla sonuçlanması gerektiği için kombinasyon

x-1

ve

r-1

üzerinden kurulur.

3

Matematiksel hesaplamayı yapma

P(X=4) = \binom{3}{1} (0,04) (0,64) = 3 \times 0,0256 = 0,0768

Kombinasyon ve kuvvet işlemlerinin sonucunda kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Nüfus ve Vatandaşlık İşleri Genel Müdürlüğü'nde incelenen pasaport başvurularında, biyometrik fotoğrafın standartlara uygun olmama olasılığı $0,4$ olarak hesaplanmıştır. Başvurular sırasıyla ve birbirinden bağımsız olarak kontrol edilmektedir. Buna göre, incelenen üçüncü başvurunun, biyometrik fotoğrafı standartlara uygun olmayan ikinci başvuru olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

0,096

0,13824

0,144

0,192

0,288

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,192

Cevap

0,192

değeri doğru cevaptır.

Negatif Binom dağılımı kurallarına göre,

r=2

. başarının (standart dışı fotoğraf)

k=3

. denemede gerçekleşme olasılığı

\binom{2}{1} p^2 q^1

formülüyle hesaplanır.

0,4

başarı olasılığı ve

0,6

başarısızlık olasılığı ile yapılan işlem sonucunda

0,192

değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Parametreleri belirleyin.

p = 0,4

(başarı/uygun olmama olasılığı),

r = 2

(hedeflenen başarı sayısı),

k = 3

(toplam deneme sayısı).

Soruda istenen durumun Negatif Binom (Pascal) dağılımına uyduğunu tespit etmek için parametrelerin belirlenmesi gerekir.

2

Negatif Binom olasılık kütle fonksiyonunu kurun.

P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} p^r (1-p)^{k-r}

r

. başarının

k

. denemede gerçekleşmesi olasılığı bu formülle hesaplanır.

3

Değerleri yerine koyarak hesaplamayı yapın.

P(X = 3) = \binom{3-1}{2-1} (0,4)^2 (0,6)^{3-2} = \binom{2}{1} (0,16) (0,6) = 2 \times 0,096 = 0,192

Seçilen parametrelerin formülde işlenmesiyle kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom Dağılımı

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 12Soru →

Bir kamu bankasının çağrı merkezine gelen aramaların %40'ı kredi kartı işlemleriyle ilgilidir. Çağrı merkezi temsilcisi, ardışık ve bağımsız çağrıları yanıtlamaktadır.

Buna göre, temsilcinin 4. kredi kartı işlemi çağrısını tam olarak 10. görüşmesinde alma olasılığı ile bu temsilcinin 4. kredi kartı işlemi çağrısını alana kadar yanıtlaması beklenen toplam çağrı sayısı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

10

\binom{10}{4} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

4

\binom{13}{10} (0,4)^4 (0,6)^{10}

ve

6

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

15

\binom{10}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

ve

10

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6$ ve $10$

Cevap

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

olasılığını ve beklenen değer olarak

10

sayısını içeren seçenektir.

Soruda belirli sayıdaki bir başarıya kadar devam eden bağımsız denemelerin incelenmesi söz konusu olduğundan Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır. 10. denemede (çağrıda) 4. başarının (kredi kartı işlemi) elde edilme olasılığı

P(X=10) = \binom{10-1}{4-1} (0,4)^4 (0,6)^{10-4}

formülü ile hesaplanarak

\binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

bulunur. 4. başarıyı elde edene kadar yanıtlanması beklenen toplam çağrı sayısı ise dağılımın beklenen değer formülü olan

E(X) = \frac{r}{p} = \frac{4}{0,4} = 10

ifadesi ile tespit edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemin dağılım türünü belirleme

Negatif Binom (Pascal) dağılımı olduğu tespit edilir.

Belirli bir sayıda başarıya (4. kredi kartı işlemi) ulaşana kadar yapılan bağımsız denemelerin (toplam çağrıların) sayısı sorulmaktadır.

2

Parametreleri çıkarma

p = 0,4

,

1-p = 0,6

, istenen başarı

r = 4

, toplam deneme

x = 10

.

Başarı olasılığı %40, aranan başarı 4'üncü işlem ve bu olayın 10'uncu çağrıda gerçekleşmesi istenmektedir.

3

İstenen olasılığı hesaplama

P(X=10) = \binom{10-1}{4-1} (0,4)^4 (0,6)^{10-4} = \binom{9}{3} (0,4)^4 (0,6)^6

Negatif Binom dağılımı olasılık fonksiyonu

P(X=x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r}

formülüne dayalıdır.

4

Beklenen değeri hesaplama

E(X) = \frac{r}{p} = \frac{4}{0,4} = 10

Negatif Binom dağılımında toplam deneme sayısının beklenen değeri (matematiksel umudu)

\frac{r}{p}

kuralı ile hesaplanır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı Olasılık Kütle Fonksiyonu ve Beklenen Değeri

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar