Examkin

Soru

Zorluk: OrtaNegatif Binom (Pascal) Dağılımı

Hazine ve Maliye Bakanlığında görevli bir vergi müfettişi, belirli bir sektördeki işletmelerin KDV beyannamelerini sırasıyla incelemektedir. Yapılan ön analizlere göre, bu sektördeki herhangi bir beyannamede 'yüksek riskli' bir usulsüzlük bulunma olasılığı 0,100,10'dur ve beyannamelerin durumu birbirinden bağımsızdır.

Müfettişin, sektör hakkında kapsamlı bir rapor hazırlayabilmesi için tam olarak 3 adet yüksek riskli beyanname tespit etmesi gerekmektedir.

Buna göre, müfettişin aradığı 3. yüksek riskli beyannameyi tam olarak 7. beyannameyi incelediğinde tespit etme olasılığı aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilir?

  1. (62)(0,10)3(0,90)4\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4Cevap
  2. B
    (73)(0,10)3(0,90)4\binom{7}{3} (0,10)^3 (0,90)^4
  3. C
    (92)(0,10)3(0,90)7\binom{9}{2} (0,10)^3 (0,90)^7
  4. D
    (0,10)3(0,90)4(0,10)^3 (0,90)^4
  5. E
    (62)(0,10)4(0,90)3\binom{6}{2} (0,10)^4 (0,90)^3

Cevap

Negatif Binom dağılımının kuralı gereği, 7. denemenin 3. başarı olabilmesi için ilk 6 denemede tam 2 başarı elde edilmelidir. Bu durum (62)(0,10)3(0,90)4\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4 formülü ile hesaplanır.
Soruda, 3. 'yüksek riskli' beyannameye (başarı, r=3r=3) tam olarak 7. incelemede (deneme, x=7x=7) ulaşılma olasılığı sorulmaktadır. Bu senaryo Negatif Binom (Pascal) dağılımını gerektirir. 7. incelemenin kesinlikle başarılı sonuçlanması şart koşulduğundan, ilk 6 incelemenin sadece 2'si başarılı olmalıdır. İlk 6 denemedeki bu durumun gerçekleşme olasılığı (62)(0,10)2(0,90)4\binom{6}{2} (0,10)^2 (0,90)^4'tür. 7. denemenin de başarılı olma ihtimali olan 0,100,10 ile bu değer çarpıldığında sonuç (62)(0,10)3(0,90)4\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Soruda verilen parametrelerin belirlenmesi
Başarı olasılığı p=0,10p=0,10, hedeflenen başarı sayısı r=3r=3, toplam deneme sayısı x=7x=7 olarak tespit edilir.
Kullanılacak olasılık dağılımını ve uygun formülü seçmek için temel parametrelere ihtiyaç vardır.
2
Dağılım türünün tespit edilmesi
Sabit bir başarı sayısına (r=3r=3) ulaşmak için gereken toplam deneme sayısının olasılığı arandığından Negatif Binom (Pascal) dağılımı kullanılmalıdır.
Binom dağılımı sabit denemedeki başarı sayısını verirken, Negatif Binom dağılımı sabit başarı için gereken deneme sayısını bulmakta kullanılır.
3
Negatif Binom formülünün uygulanması
P(X=x)=(x−1r−1)pr(1−p)x−rP(X = x) = \binom{x-1}{r-1} p^r (1-p)^{x-r} genel formülünde değerler yerine yazıldığında P(X=7)=(7−13−1)(0,10)3(1−0,10)7−3P(X = 7) = \binom{7-1}{3-1} (0,10)^3 (1-0,10)^{7-3} işlemi elde edilir.
Son (7.) incelemenin kesinlikle aranan yüksek riskli beyanname (başarı) olması gerektiğinden, önceki 6 incelemede tam olarak 2 yüksek riskli beyanname bulunmalıdır.
4
Sonucun düzenlenmesi
Matematiksel ifade düzenlendiğinde olasılık değeri (62)(0,10)3(0,90)4\binom{6}{2} (0,10)^3 (0,90)^4 olarak hesaplanır.
Kombinasyon terimi ve üslü ifadeler sadeleştirilerek seçeneklerdeki sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı
Bu soruyu puanla

Konular

Negatif Binom (Pascal) Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru