Bir kamu kurumunda personelin performansını artırmak amacıyla uygulanan iki farklı hizmet … — KPSS İstatistik

Bir kamu kurumunda personelin performansını artırmak amacıyla uygulanan iki farklı hizmet içi eğitim programı (A ve B) karşılaştırılacaktır. A eğitimini alan 12 personelin eğitim sonu başarı puanlarının ortalaması 80, varyansı 36 olarak; B eğitimini alan 15 personelin başarı puanlarının ortalaması 74, varyansı ise 61 olarak hesaplanmıştır.

İki eğitimin uygulandığı popülasyonların normal dağılıma sahip olduğu ve kitle varyanslarının bilinmemekle birlikte birbirine eşit olduğu ( $\sigma_A^2 = \sigma_B^2$ ) varsayılmaktadır.

Buna göre, A ve B eğitimlerini alan personelin başarı puanları ortalamaları arasındaki fark ( $\mu_A - \mu_B$ ) için %95 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(İlgili dağılımların $\alpha$ anlamlılık düzeyindeki ve $v$ serbestlik derecesindeki kritik değerleri $t_{\alpha; v}$ ve $z_{\alpha}$ şeklinde gösterilmiştir.)

$6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}$ Cevap
B
$6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{\frac{36}{12} + \frac{61}{15}}$
C
$6 \pm z_{0.025} \sqrt{7.5}$
D
$6 \pm t_{0.025; 27} \sqrt{7.5}$
E
$6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.275}$

Cevap

Hesaplanan %95 güven aralığı

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}

formülüyle verilen seçenektir.

Doğru güven aralığı oluşturulurken önce nokta tahmini

80 - 74 = 6

olarak bulunur. Kitle varyansları bilinmediği ve eşit varsayıldığı için

(n_A-1)

(n_B-1)

ağırlıkları kullanılarak ortak varyans

S_p^2 = (11(36) + 14(61))/25 = 50

hesaplanır. Ortalamalar farkının standart hatası

\sqrt{S_p^2(1/n_A + 1/n_B)} = \sqrt{50(1/12 + 1/15)} = \sqrt{7.5}

şeklindedir. Serbestlik derecesi

n_A + n_B - 2 = 25

olduğundan, %95 güven düzeyi için uygun kritik değer

t_{0.025; 25}

kullanılarak aralık oluşturulur.

Adım Adım Çözüm

Nokta tahminini (ortalamalar farkı) hesapla.

\bar{x}_A - \bar{x}_B = 80 - 74 = 6

Güven aralığının merkezini bulmak için iki örneklem ortalamasının farkı alınır.

Eşit varyans varsayımı altında ortak varyansı (

S_p^2

) hesapla.

S_p^2 = \frac{(n_A-1)s_A^2 + (n_B-1)s_B^2}{n_A + n_B - 2} = \frac{11(36) + 14(61)}{12 + 15 - 2} = \frac{396 + 854}{25} = \frac{1250}{25} = 50

Popülasyon varyansları bilinmiyor ancak eşit kabul ediliyorsa, varyansların serbestlik dereceleri ile ağırlıklandırılarak birleştirilmesi (pooling) gerekir.

Güven düzeyine uygun test istatistiğini ve kritik değeri belirle.

Kitle varyansı bilinmediğinden

T

dağılımı kullanılır. Serbestlik derecesi

df = 12 + 15 - 2 = 25

. %95 güven aralığı için

\alpha = 0.05

ve iki yönlü kritik değer

t_{0.025; 25}

olur.

Güven aralığının genişliğini (hata payını) belirleyecek çarpanın doğru tespiti için serbestlik derecesi gereklidir.

Standart hatayı hesapla ve güven aralığı formülünü oluştur.

Standart hata:

\sqrt{S_p^2 \left( \frac{1}{n_A} + \frac{1}{n_B} \right)} = \sqrt{50 \left( \frac{1}{12} + \frac{1}{15} \right)} = \sqrt{50 \left( \frac{9}{60} \right)} = \sqrt{50(0.15)} = \sqrt{7.5}

. Formül:

6 \pm t_{0.025; 25} \sqrt{7.5}

Ortalamalar farkının varyansı ortak varyans ile ifade edildiğinde güven aralığı sınırları bu şekilde bulunur.

Anahtar Kavram

Bilinmeyen Eşit Varyanslar İçin İki Kitle Ortalaması Farkı Güven Aralığı (Ortak Varyans Kullanımı)

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru