Examkin

Soru

Zorluk: ZorOtoregresif Modeller (AR)

Bir araştırmacı, tarımsal bir ürünün yıllık rekolte dalgalanmalarını incelerken serinin sıfır ortalamalı durağan bir ikinci dereceden otoregresif model (AR(2)) izlediğini tespit etmiştir. Araştırmacının tahmin ettiği modele göre;

Yt=13Yt−1+13Yt−2+ϵtY_t = \frac{1}{3}Y_{t-1} + \frac{1}{3}Y_{t-2} + \epsilon_t

ilişkisi geçerlidir ve burada ϵt\epsilon_t, varyansı 280280 olan bir beyaz gürültü sürecidir.

Buna göre, YtY_t serisinin varyansı (otokovaryans fonksiyonunun sıfırıncı gecikmedeki değeri, γ0\gamma_0) kaçtır?

  1. A
    315
  2. B
    360
  3. 420Cevap
  4. D
    504
  5. E
    840

Cevap

Serinin varyansı (γ0\gamma_0) 420'dir.
Durağan bir AR(2) modeli için serinin varyansı (γ0\gamma_0), Yule-Walker denklemleri aracılığıyla çözülür. Model Yt=ϕ1Yt−1+ϕ2Yt−2+ϵtY_t = \phi_1 Y_{t-1} + \phi_2 Y_{t-2} + \epsilon_t formunda yazıldığında, γ0\gamma_0 hesaplaması için öncelikle ρ1=ϕ11−ϕ2\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} ve ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 otokorelasyonları bulunmalıdır. Değerler yerine konulduğunda ρ1=1/2\rho_1 = 1/2 ve ρ2=1/2\rho_2 = 1/2 elde edilir. Varyans bağıntısı 1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σϵ2γ01 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_2 + \frac{\sigma_\epsilon^2}{\gamma_0} formülünde kullanıldığında, eşitlik 1=16+16+280γ01 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{280}{\gamma_0} halini alır. Bu denklem çözüldüğünde γ0=420\gamma_0 = 420 değerine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
AR(2) modeline ait parametreleri belirleyin.
ϕ1=1/3\phi_1 = 1/3, ϕ2=1/3\phi_2 = 1/3 ve beyaz gürültü varyansı σϵ2=280\sigma_\epsilon^2 = 280.
Model parametreleri, Yule-Walker denklemlerinde kullanılacak temel girdilerdir.
2
Birinci gecikmeli otokorelasyon katsayısını (ρ1\rho_1) Yule-Walker denklemi ile hesaplayın.
ρ1=ϕ11−ϕ2=1/31−1/3=1/32/3=12\rho_1 = \frac{\phi_1}{1 - \phi_2} = \frac{1/3}{1 - 1/3} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}.
AR(2) sürecinde ρ1\rho_1, doğrudan ϕ1\phi_1 ve ϕ2\phi_2 parametrelerine bağlıdır.
3
İkinci gecikmeli otokorelasyon katsayısını (ρ2\rho_2) hesaplayın.
ρ2=ϕ1ρ1+ϕ2=(13)(12)+13=16+26=12\rho_2 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 = (\frac{1}{3})(\frac{1}{2}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} + \frac{2}{6} = \frac{1}{2}.
Genel varyans denkleminde kullanmak üzere ikinci gecikmeye ait otokorelasyona da ihtiyaç vardır.
4
AR(2) süreci için varyans (γ0\gamma_0) formülünü kurun ve hesaplayın.
1=ϕ1ρ1+ϕ2ρ2+σϵ2γ01 = \phi_1 \rho_1 + \phi_2 \rho_2 + \frac{\sigma_\epsilon^2}{\gamma_0} denkleminden σϵ2γ0=1−(13×12+13×12)=1−13=23\frac{\sigma_\epsilon^2}{\gamma_0} = 1 - (\frac{1}{3}\times\frac{1}{2} + \frac{1}{3}\times\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. Buradan γ0=280×32=420\gamma_0 = \frac{280 \times 3}{2} = 420 bulunur.
Serinin varyansı, gecikmelerin kendi otokorelasyonları ile ağırlıklandırıldığı Yule-Walker ana denklemi üzerinden çözülür.

Anahtar Kavram

AR(2) Modellerinde Yule-Walker Denklemleri ve Varyans Hesabı

Alternatif Yöntem

AR(2) modelinde varyans, Yule-Walker otokorelasyon adımlarını atlayarak doğrudan AR(2) kapalı form varyans formülüyle de hesaplanabilir: γ0=(1−ϕ21+ϕ2)σϵ2(1−ϕ2)2−ϕ12\gamma_0 = \left( \frac{1 - \phi_2}{1 + \phi_2} \right) \frac{\sigma_\epsilon^2}{(1 - \phi_2)^2 - \phi_1^2}. Değerler yerine konulduğunda; (1−1/31+1/3)×280(2/3)2−(1/3)2=(2/34/3)×2803/9=12×2801/3=420( \frac{1 - 1/3}{1 + 1/3} ) \times \frac{280}{(2/3)^2 - (1/3)^2} = ( \frac{2/3}{4/3} ) \times \frac{280}{3/9} = \frac{1}{2} \times \frac{280}{1/3} = 420 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Otoregresif Modeller (AR)

Bu konudan daha fazla soru