Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir tekstil fabrikasındaki dokuma makinelerinin arıza yapana kadar geçen süresi (gün), θ>0\theta > 0 parametreli bir üstel dağılıma sahiptir:

f(x;θ)=1θe−x/θ,x>0f(x; \theta) = \frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}, \quad x > 0

Bu kitleden rastgele seçilen nn birimlik bir örnekleme dayanarak, kitlenin beklenen değeri olan θ\theta parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    θn\frac{\theta}{n}
  2. B
    θ2n2\frac{\theta^2}{n^2}
  3. C
    θ2\theta^2
  4. θ2n\frac{\theta^2}{n}Cevap
  5. E
    1nθ2\frac{1}{n\theta^2}

Cevap

Üstel dağılım için Cramer-Rao alt sınırı θ2n\frac{\theta^2}{n} olarak hesaplanır.
Cramer-Rao alt sınırı, Fisher bilgi miktarının (In(θ)I_n(\theta)) çarpmaya göre tersidir. Üstel dağılımda f(x;θ)=(1/θ)e−x/θf(x; \theta) = (1/\theta)e^{-x/\theta} için tek bir gözlemin Fisher bilgisi I(θ)=1/θ2I(\theta) = 1/\theta^2 olarak hesaplanır. nn birimlik bağımsız örneklem için toplam Fisher bilgisi n/θ2n/\theta^2 olur. Bu değerin tersi alındığında alt sınır θ2/n\theta^2/n olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık yoğunluk fonksiyonunun logaritmasını alarak log-olabilirlik fonksiyonunu oluşturun.
ln⁡f(x;θ)=−ln⁡θ−xθ\ln f(x; \theta) = -\ln \theta - \frac{x}{\theta}
Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik üzerinden türev almak gereklidir.
2
Log-olabilirlik fonksiyonunun θ\theta parametresine göre birinci ve ikinci türevlerini alın.
∂ln⁡f∂θ=−1θ+xθ2\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x}{\theta^2} ve ∂2ln⁡f∂θ2=1θ2−2xθ3\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{2x}{\theta^3}
Fisher bilgisi, ikinci türevin negatif beklenen değeridir.
3
Fisher bilgi miktarını (I(\theta)) beklenen değer üzerinden hesaplayın.
I(θ)=−E[1θ2−2Xθ3]=−1θ2+2E[X]θ3I(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{2X}{\theta^3}\right] = -\frac{1}{\theta^2} + \frac{2E[X]}{\theta^3}. Üstel dağılımda E[X]=θE[X] = \theta olduğundan I(θ)=1θ2I(\theta) = \frac{1}{\theta^2} olur.
Tek bir gözlem için Fisher bilgisi parametrenin hassasiyetini belirler.
4
Cramer-Rao alt sınır formülünü nn birimlik örneklem için uygulayın.
Var(θ^)≥1nI(θ)=1n(1/θ2)=θ2nVar(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n (1/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{n}
Cramer-Rao eşitsizliği, yansız bir tahmin edicinin sahip olabileceği minimum varyansı verir.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB), bir yansız tahmin edicinin varyansı için teorik alt limiti belirler ve Fisher bilgisinin tersine eşittir.
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru