Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorHareketli Ortalama (MA) Modelleri

Bir büyükşehir belediyesi ulaşım koordinasyon merkezi, ana arterlerden birindeki günlük ortalama araç geçiş sayılarındaki rastgele dalgalanmaları incelemektedir. Mevsimsel ve trend etkilerinden arındırılmış YtY_t serisi için yapılan korelasyon analizinde; otokorelasyon fonksiyonunun (ACF) ilk iki gecikmede istatistiksel olarak anlamlı değerler alıp 3. gecikmeden itibaren aniden sıfıra düştüğü, kısmi otokorelasyon fonksiyonunun (PACF) ise asimptotik olarak sönümlendiği tespit edilmiştir.

Sürece uygun olarak Yt=μ+εt−θ1εt−1−θ2εt−2Y_t = \mu + \varepsilon_t - \theta_1 \varepsilon_{t-1} - \theta_2 \varepsilon_{t-2} modeli tahmin edilmiştir (Burada εt∼WN(0,σ2)\varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2)'dir). Modelin hareketli ortalama karakteristik denklemi 1−θ1B−θ2B2=01 - \theta_1 B - \theta_2 B^2 = 0 olarak tanımlandığında, bu denklemin köklerinden birinin B1=0.5B_1 = 0.5 olduğu belirlenmiştir.

Bu model ve tahmin sonuçları dikkate alındığında, modelin teorik özellikleri hakkında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    ACF ve PACF grafiklerindeki bu spesifik davranış, sürecin ikinci dereceden otoregresif (AR(2)) bir yapıya sahip olduğunu ve B1=0.5B_1 = 0.5 kökünün durağanlık koşulunu sağladığını kanıtlar.
  2. B
    MA modellerinde karakteristik denklem kökünün birim çemberin içinde yer alması serinin durağan olmadığını gösterir; bu nedenle modellemeye devam etmeden önce serinin birinci dereceden farkı alınmalıdır.
  3. Model, matematiksel yapısı gereği her zaman durağandır; ancak karakteristik denklemin kökü mutlak değerce 1'den küçük (∣B1∣<1|B_1| < 1) olduğundan süreç tersinir (invertible) değildir ve sonsuz dereceli bir AR modeli olarak ifade edilemez.Cevap
  4. D
    Kısmi otokorelasyon fonksiyonunun sönümlenerek azalması, serideki güçlü döngüsel hareketlerin tam olarak arındırılamadığını gösterir; bu yüzden MA(2) yerine farklı bir filtreleme yöntemi kullanılmalıdır.
  5. E
    Bir hareketli ortalama sürecinin geçmiş gözlemler cinsinden yazılabilmesi (tersinirlik) için köklerin mutlak değerce 1'den küçük olması şarttır, dolayısıyla bu model tersinirlik koşulunu kesinlikle sağlamaktadır.

Cevap

Doğru seçenek, modelin her zaman durağan olduğunu ancak köklerin birim çemberin içinde kalmasından dolayı tersinir olmadığını ve AR(∞) formatında yazılamayacağını belirten ifadedir.
Verilen model bir MA(2) modelidir. Hareketli ortalama (MA) modelleri, sonlu sayıdaki beyaz gürültü hatalarının doğrusal bir kombinasyonu olduğu için katsayılardan bağımsız olarak daima durağandır. Ancak, modelin tersinir (invertible) olabilmesi ve sonsuz dereceli bir AR modeli gibi geçmiş gözlemler cinsinden ağırlıklandırılarak ifade edilebilmesi için, θ(B)=0\theta(B) = 0 karakteristik denkleminin tüm köklerinin mutlak değerce 1'den büyük (birim çemberin dışında) olması şarttır. Soruda verilen B1=0.5B_1 = 0.5 kökü mutlak değerce 1'den küçük olup birim çemberin içinde yer aldığından, süreç kesinlikle tersinir değildir.

Adım Adım Çözüm

1
Serinin davranışından modelin türünü tespit et.
ACF 2. gecikmede kesiliyor, PACF sönümleniyor. Bu özellikler serinin net bir şekilde MA(2) modeli olduğunu gösterir.
Zaman serisi teorisinde MA(q) modellerinin teorik otokorelasyon fonksiyonu q. gecikmeden sonra sıfır olurken, PACF asimptotik olarak sönümlenir.
2
MA(2) modelinin durağanlık durumunu değerlendir.
Hareketli ortalama (MA) modelleri, yapısı gereği sonlu sayıda beyaz gürültü teriminin doğrusal birleşimi olduğundan parametre değerlerinden bağımsız olarak her zaman durağandır.
MA süreçlerinde otoregresif süreçlerin aksine durağanlık için ekstra bir parametre kısıtı gerekmez.
3
Modelin tersinirlik (invertibility) koşullarını kontrol et.
Bir MA sürecinin tersinir olabilmesi ve sonsuz dereceli bir AR sürecine (AR(∞)) dönüştürülebilmesi için karakteristik denklemin (θ(B)=0\theta(B)=0) köklerinin birim çemberin dışında, yani mutlak değerce 1'den büyük (∣B∣>1|B| > 1) olması zorunludur.
Geçmiş şokların ağırlıklarının zamanla sıfıra yakınsaması için matematiksel gereklilik budur.
4
Verilen kökü tersinirlik kuralına göre analiz et.
Soruda verilen kök B1=0.5B_1 = 0.5'tir. ∣0.5∣<1|0.5| < 1 olduğundan, kök birim çemberin içindedir. Bu durum tersinirlik şartını ihlal eder.
Birim çemberin içinde kalan kökler, MA modelinin geçmiş gözlemler üzerinden ifade edilmesini imkansız kılar.
5
Tüm bulguları sentezleyerek doğru seçeneği belirle.
Model durağandır ancak tersinir değildir (AR formunda yazılamaz).
Hem MA modellerinin doğasından gelen durağanlığı hem de spesifik karakteristik kökün getirdiği tersinmezlik kısıtını aynı anda doğru ifade etmek gereklidir.

Anahtar Kavram

Hareketli Ortalama (MA) Modellerinde Durağanlık ve Tersinirlik
Bu soruyu puanla

Konular

Hareketli Ortalama (MA) Modelleri

Bu konudan daha fazla soru