Bir malzeme test laboratuvarında iki farklı alaşımın (Alaşım I ve Alaşım II) çekme mukavem… — KPSS İstatistik

Bir malzeme test laboratuvarında iki farklı alaşımın (Alaşım I ve Alaşım II) çekme mukavemetlerindeki değişkenlik karşılaştırılmak istenmektedir. Alaşım I'den rastgele seçilen $9$ adet numune ile Alaşım II'den rastgele seçilen $16$ adet numunenin çekme mukavemeti ölçülmüş ve örneklem varyansları sırasıyla $S_1^2$ ve $S_2^2$ olarak hesaplanmıştır.

Ölçüm sonuçlarının birbirinden bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, kitle varyansları oranı $\left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right)$ için %90 güven aralığını veren ifade aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 8, 15} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 15, 8}} \right]$
B
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} - t_{0.05; 23} \sqrt{\frac{S_1^2}{9} + \frac{S_2^2}{16}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} + t_{0.05; 23} \sqrt{\frac{S_1^2}{9} + \frac{S_2^2}{16}} \right]$
C
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 9, 16}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 16, 9} \right]$
D
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.10; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.10; 15, 8} \right]$
$\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]$ Cevap

Cevap

Doğru seçenek, F dağılımı tablosundan 8 ve 15 serbestlik dereceleri ile %5 kuyruk olasılığı değerlerinin (F_0.05) doğru konumlarda ve formasyonda kullanıldığı ifadeyi gösteren seçenektir.

İki kitle varyansının oranı için güven aralığı, F dağılımı üzerinden türetilir. Örneklem hacimleri

n_1=9

n_2=16

olduğundan F dağılımının serbestlik dereceleri sırasıyla

8

15

'tir. %90 güven aralığı oluşturulurken her iki kuyruktan eşit risk bırakılır, bu yüzden anlamlılık düzeyinin yarısı olan

\alpha/2 = 0.05

kullanılır. Formülün cebirsel yapısı gereği nihai aralık

\left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}} , \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8} \right]

şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

Örneklem büyüklüklerini kullanarak F dağılımı için gerekli serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirle.

v_1 = 9 - 1 = 8, v_2 = 16 - 1 = 15. %90 güven düzeyi için çift yönlü aralıkta kullanılması gereken anlamlılık düzeyi parçası \alpha/2 = 0.05 olarak bulunur.

Varyansların oranı için oluşturulacak pivot fonksiyon F dağılımına uyduğundan aralığın sınırları için F(0.05; 8, 15) ve F(0.05; 15, 8) değerleri gereklidir.

İki kitle varyansı oranı için teorik asimptotik çarpımsal güven aralığı formülünü kurgula.

Teorik güven aralığı: \left[ \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; v_1, v_2}}, \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{\alpha/2; v_2, v_1} \right]

Varyansların oranına dair eşitsizlik, asimetrik bir dağılım olan F dağılımının iki sınır değerini kullanarak elde edilir.

Serbestlik dereceleri ve anlamlılık düzeyini formülde yerine koyarak nihai aralığı elde et.

Alt sınır: \frac{S_1^2}{S_2^2} \frac{1}{F_{0.05; 8, 15}}, Üst sınır: \frac{S_1^2}{S_2^2} F_{0.05; 15, 8}

Serbestlik derecelerinin doğru tablo konumlarında (alt sınırda bölen, üst sınırda çarpan ve ters serbestlik dereceleriyle) yazılması aralığı tamamlar.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru