Bir finansal risk analiz modelinde, bir yatırım portföyünün haftalık risk seviyeleri S = \… — KPSS İstatistik

Bir finansal risk analiz modelinde, bir yatırım portföyünün haftalık risk seviyeleri $S = \{1, 2, 3, 4\}$ durum uzayında tanımlı bir homojen Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu durumlara ilişkin geçiş olasılıkları matrisi $P$ aşağıdaki gibi verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 1/6 & 1/3 & 1/6 & 1/3 \\ 0 & 2/5 & 3/5 & 0 \\ 0 & 1/3 & 2/3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Buna göre, sisteme 1 numaralı risk seviyesinden (başlangıç durumu) giren bir portföyün, uzun dönemde (kararlı durumda) 2 numaralı risk seviyesinde bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{5}{28}$
B
$\frac{3}{10}$
C
$\frac{5}{14}$
$\frac{3}{14}$ Cevap
E
$\frac{3}{5}$

Cevap

Uzun dönemde 2 numaralı durumda bulunma olasılığı

\frac{3}{14}

'tür.

Doğru seçenekteki değer, sistemin öncelikle geçici durumdan (1) hedef kapalı sınıfa {2, 3} yutulma olasılığının (

3/5

) hesaplanması ve ardından bu olasılığın ilgili sınıfın kendi içindeki kararlı durum olasılığı (

5/14

) ile çarpılması sonucu (

3/5 \times 5/14 = 3/14

) elde edilmiştir. Birden fazla kapalı sınıf içeren matrislerde başlangıç koşuluna bağlı uzun dönem olasılıkları bu koşullu çarpım ilkesiyle bulunur.

Adım Adım Çözüm

Markov zincirinin durumlarını sınıflandırın.

Durum 4 yutucu (recurrent), Durum 1 geçici (transient), Durum 2 ve 3 ise kendi aralarında geçişken olan kapalı bir iletişim sınıfıdır (irreducible, recurrent).

Geçiş matrisi incelendiğinde 4'ten sadece 4'e geçiş olduğu, 2 ve 3'ün dışarıya çıkış vermediği, 1'in ise diğer tüm sınıflara geçebildiği ancak kendisine dönülemeyen yollar barındırdığı görülür.

C = \{2, 3\}

kapalı alt sınıfı için kararlı durum olasılıklarını (

\pi_2, \pi_3

) hesaplayın.

\pi_2 = \frac{5}{14}

\pi_3 = \frac{9}{14}

bulunur.

\pi = \pi P_{C}

eşitliği kurularak

\pi_2 = \frac{2}{5}\pi_2 + \frac{1}{3}\pi_3

\pi_2 + \pi_3 = 1

sistemi çözülür.

\frac{3}{5}\pi_2 = \frac{1}{3}(1 - \pi_2) \implies \pi_2 = \frac{5}{14}

elde edilir.

Sistemin 1 numaralı durumdan başlayarak

C = \{2, 3\}

sınıfına yutulma olasılığını (

a_1

) hesaplayın.

a_1 = \frac{3}{5}

bulunur.

Yutulma olasılığı denklemi:

a_1 = \sum_{j \in C} P_{1j} + P_{11}a_1

. Buradan

a_1 = (\frac{1}{3} + \frac{1}{6}) + \frac{1}{6}a_1 \implies a_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6}a_1 \implies \frac{5}{6}a_1 = \frac{1}{2} \implies a_1 = \frac{3}{5}

Koşullu olasılık kurallarını kullanarak 1'den başlayan sürecin uzun dönemde 2'de bulunma olasılığını bulun.

\lim_{n \to \infty} P(X_n = 2 \mid X_0 = 1) = a_1 \times \pi_2 = \frac{3}{5} \times \frac{5}{14} = \frac{3}{14}

Sistem uzun dönemde ya 4 numaralı yutucu duruma (%40) ya da {2, 3} sınıfına (%60) yerleşecektir. Eğer {2, 3} sınıfına yerleşirse, zamanının

\frac{5}{14}

'ünü 2 numaralı durumda geçirecektir.

Anahtar Kavram

Sınıflandırılmış Markov Zincirlerinde Kararlı Durum ve Yutulma Olasılıkları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular