Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir belediyenin iletişim merkezindeki (Beyaz Masa) tek bir gişede vatandaşlara hizmet verilmektedir. Sistemdeki vatandaş sayısına (nn) bağlı olarak, gişeye yeni bir vatandaşın geliş hızı λn\lambda_n (kişi/saat) ve gişenin hizmet hızı μn\mu_n (kişi/saat) bir doğum-ölüm süreci ile modellenmiştir.

Vatandaşlar kuyruğun uzunluğunu gördüklerinde beklemekten vazgeçebilmektedir. Sistemdeki kişi sayısına göre varış hızları sırasıyla;
λ0=6\lambda_0 = 6
λ1=4\lambda_1 = 4
λ2=2\lambda_2 = 2
λn=0(n≥3)\lambda_n = 0 \quad (n \ge 3)
olarak belirlenmiştir.

Gişedeki memurun hizmet hızı ise sistemde en az bir kişi varken sabittir ve μn=2(n≥1)\mu_n = 2 \quad (n \ge 1) kişi/saat olarak verilmiştir.

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) tamamen boş olma olasılığı (P0P_0) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    140\frac{1}{40}
  2. 116\frac{1}{16}Cevap
  3. C
    115\frac{1}{15}
  4. D
    17\frac{1}{7}
  5. E
    38\frac{3}{8}

Cevap

Sistemin kararlı durumda tamamen boş olma olasılığı 116\frac{1}{16}'dır.
Doğum-ölüm süreçlerinde kararlı durum olasılıkları hesaplanırken her durum için PnP_n değerleri sırasıyla önceki durumlar üzerinden birbirinin çarpımı olarak P0P_0 cinsinden ifade edilir. P1=3P0P_1 = 3P_0, P2=6P0P_2 = 6P_0 ve P3=6P0P_3 = 6P_0 bulunduktan sonra, katsayıların toplamı (1+3+6+6=161 + 3 + 6 + 6 = 16) normalizasyon şartı gereği 1'e eşitlenerek sistemin boş kalma olasılığı 116\frac{1}{16} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Doğum-ölüm süreci denge (steady-state) denklemlerini kullanarak her bir nn durumu için PnP_n olasılıklarını P0P_0 cinsinden ifade edin.
Pn=Cn⋅P0P_n = C_n \cdot P_0 ilişkisi kurulur. Burada Cn=λ0⋅λ1⋯λn−1μ1⋅μ2⋯μnC_n = \frac{\lambda_0 \cdot \lambda_1 \cdots \lambda_{n-1}}{\mu_1 \cdot \mu_2 \cdots \mu_n} formülü geçerlidir.
Kararlı durumda bir duruma giriş hızı, o durumdan çıkış hızına eşit olmalıdır (Denge şartı).
2
C1,C2C_1, C_2 ve C3C_3 katsayılarını verilen parametrelere göre hesaplayın.
C1=62=3  ⟹  P1=3P0C_1 = \frac{6}{2} = 3 \implies P_1 = 3P_0
C2=6⋅42⋅2=244=6  ⟹  P2=6P0C_2 = \frac{6 \cdot 4}{2 \cdot 2} = \frac{24}{4} = 6 \implies P_2 = 6P_0
C3=6⋅4⋅22⋅2⋅2=488=6  ⟹  P3=6P0C_3 = \frac{6 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{48}{8} = 6 \implies P_3 = 6P_0
Sistemde en fazla 3 kişi bulunabileceği için (λ3=0\lambda_3 = 0), sadece P1,P2P_1, P_2 ve P3P_3 hesaplanır.
3
Tüm durum olasılıklarının toplamının 1'e eşit olması (normalizasyon) kuralını uygulayarak P0P_0'ı bulun.
P0+P1+P2+P3=1P_0 + P_1 + P_2 + P_3 = 1
P0(1+3+6+6)=1P_0(1 + 3 + 6 + 6) = 1
16P0=1  ⟹  P0=11616 P_0 = 1 \implies P_0 = \frac{1}{16}
Sistem mutlaka bu 4 durumdan birinde bulunmak zorundadır, olasılıklar toplamı 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Duruma Bağlı Doğum-Ölüm Süreçleri ve Normalizasyon
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru