Examkin

Soru

Zorluk: ZorRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir meteoroloji kurumu, belirli bir bölgedeki rüzgar hızının Doğu-Batı yönündeki dalgalanmasını (XX) ve Kuzey-Güney yönündeki dalgalanmasını (YY) ölçeklendirilmiş birimlerle analiz etmektedir. Yapılan analiz sonucunda XX ve YY rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi bulunmuştur:

f(x,y)={1π,x2+y2≤10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu modele göre XX ve YY değişkenlerinin özellikleri ve aralarındaki ilişki dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Değişkenlerin ortak beklenen değeri E[XY]=0E[XY] = 0 ve marjinal beklenen değerleri sıfır olduğundan aralarındaki kovaryans sıfırdır ve bu özellik değişkenlerin kesinlikle bağımsız olduğunu kanıtlar.
  2. XX ve YY'nin değer alabileceği bölge dikdörtgensel bir alan (çarpım uzayı) oluşturmadığı için değişkenler bağımlıdır, ancak dağılımın simetrisinden dolayı aralarındaki kovaryans sıfırdır.Cevap
  3. C
    Dairesel alan üzerindeki (x,y)(x, y) noktalarının oluşturduğu olaylar birbirinden ayrık kümelere denk geldiği için XX ve YY değişkenleri olasılık teorisi gereği bağımsızdır.
  4. D
    Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu alan üzerinde sabit (1π\frac{1}{\pi}) bir değere sahip olduğundan, XX ve YY'nin marjinal fonksiyonlarının toplamı her noktada sabittir ve bu durum bağımsızlığı sağlar.
  5. E
    XX ve YY'nin beklenen değerleri için E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] eşitliği sağlandığından, rastgele değişkenlerin beklenen değer doğrusal özellikleri gereği XX ve YY bağımsızdır.

Cevap

Ortak destek kümesinin dairesel (dikdörtgensel olmayan) yapısından dolayı değişkenler bağımlıdır; ancak merkeze göre simetrik olmaları nedeniyle kovaryansları sıfıra eşittir.
Sürekli rastgele değişkenlerde bağımsızlığın sağlanması için gerekli ön şartlardan ilki, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesinin (domain) bir dikdörtgen (veya kartezyen çarpım bölgesi) oluşturmasıdır. Sorudaki x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1 bölgesi daireseldir; dolayısıyla örneğin x=1x=1 olduğunda yy sadece 00 olabilir, yani değişkenler birbirinin alabileceği değer aralıklarını kısıtlar. Bu durum XX ve YY'nin kesinlikle bağımlı olduğunu kanıtlar. Buna karşın, dairesel bölgenin merkeze göre simetrik olması nedeniyle E[X]E[X], E[Y]E[Y] ve ortak beklenen değer E[XY]E[XY] sıfıra eşittir. Bu değerler Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] formülünde yerine konulduğunda kovaryans sıfır çıkar. Bu klasik teorem, kovaryansın sadece doğrusal ilişkiyi ölçtüğünü ve bağımlı değişkenlerin de sıfır kovaryansa sahip olabileceğini ispatlar.

Adım Adım Çözüm

1
Destek kümesinin (tanım bölgesi) şeklini ve bağımsızlık üzerindeki etkisini incelemek.
Tanım bölgesi x2+y2≤1x^2 + y^2 \leq 1 eşitsizliğiyle verilen bir dairedir.
Sürekli iki değişkenin bağımsız olabilmesi için destek kümelerinin sınırlarının birbirine bağlı olmaması (dikdörtgensel kartezyen çarpım olması) gerekir; dairesel sınır bağımlılığı doğrudan kanıtlar.
2
XX ve YY'nin marjinal beklenen değerlerini hesaplamak.
f(x,y)f(x,y) orijine göre simetrik olduğundan, tek fonksiyonların integrali sıfır olur ve E[X]=0E[X] = 0, E[Y]=0E[Y] = 0 bulunur.
Kovaryans formülünde kullanılacak E[X]E[X] ve E[Y]E[Y] temel değerlerini elde etmek.
3
Ortak beklenen değer E[XY]E[XY] değerini hesaplamak.
x⋅y⋅f(x,y)x \cdot y \cdot f(x,y) fonksiyonu dairesel simetrik bölgede integre edildiğinde sonuç yine 00 çıkar (E[XY]=0E[XY]=0).
Kovaryans denkleminde yerine koyulacak ortak moment değerini bulmak.
4
Elde edilen verilerle kovaryans değerini formüle yerleştirmek.
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]=0−(0⋅0)=0Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - (0 \cdot 0) = 0 olarak bulunur.
Değişkenlerin hem bağımlı olduğunu hem de sıfır kovaryansa sahip olduğunu matematiksel olarak doğrulamak.

Anahtar Kavram

Sıfır Kovaryansın Bağımsızlığı Garanti Etmemesi ve Destek Kümesinin Rolü
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı