Examkin

Soru

Zorluk: ZorYapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Bir kamu kurumu, iki farklı bölgeye ulaştırılacak yardım malzemelerinin dağıtımını planlamak için aşağıdaki doğrusal programlama modelini kurgulamıştır. Modelin amacı, ulaştırılan malzemelerin yaratacağı toplam sosyal faydayı maksimize etmektir:

Maksimum Z=30x1+40x2\text{Maksimum } Z = 30x_1 + 40x_2
Kısıtlar:\text{Kısıtlar:}
2x1+x2≥122x_1 + x_2 \geq 12
x1+3x2=15x_1 + 3x_2 = 15
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Bu model, Büyük-M (Big-M) yöntemi ile çözülmek üzere standart forma dönüştürülüp başlangıç simpleks tablosu oluşturulacaktır. Modelin maksimizasyon problemi olduğu dikkate alınarak yapay değişkenlere amaç fonksiyonunda M>0M > 0 olmak üzere uygun ceza katsayıları atanmıştır.

Buna göre, oluşturulan başlangıç simpleks tablosunda x1x_1 ve x2x_2 karar değişkenlerine ait Zj−CjZ_j - C_j (net değerlendirme) satırı değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −3M−30-3M - 30 ve −4M−40-4M - 40Cevap
  2. B
    3M+303M + 30 ve 4M+404M + 40
  3. C
    3M−303M - 30 ve 4M−404M - 40
  4. D
    −M−30-M - 30 ve −3M−40-3M - 40
  5. E
    −3M-3M ve −4M-4M

Cevap

Başlangıç tablosunda x1x_1 ve x2x_2 değişkenlerinin Zj−CjZ_j - C_j değerleri sırasıyla −3M−30-3M - 30 ve −4M−40-4M - 40'tır.
Büyük-M yönteminde maksimizasyon problemleri için yapay değişkenlere amaç fonksiyonunda -M katsayısı atanır. Başlangıç tablosunda temel değişkenler A_1 ve A_2 olup, her ikisinin de amaç fonksiyonu katsayısı -M'dir. Bu durumda x_1 sütunundaki katsayılar (2 ve 1) -M ile çarpılıp toplanarak Z_1 = -3M bulunur, C_1 değeri olan 30 çıkarıldığında -3M - 30 elde edilir. Benzer şekilde x_2 sütunundaki katsayılar (1 ve 3) -M ile çarpılıp toplanarak Z_2 = -4M bulunur, C_2 değeri olan 40 çıkarıldığında Z_2 - C_2 = -4M - 40 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Modeli yapay değişkenler kullanarak standart forma dönüştür.
Maksimum Z = 30x1+40x2+0s1−MA1−MA230x_1 + 40x_2 + 0s_1 - MA_1 - MA_2
2x1+x2−s1+A1=122x_1 + x_2 - s_1 + A_1 = 12
x1+3x2+A2=15x_1 + 3x_2 + A_2 = 15
Büyük eşit (≥\geq) kısıtına bir artık değişken (−s1-s_1) ve bir yapay değişken (+A1+A_1) eklenirken; eşitlik (==) kısıtına yalnızca bir yapay değişken (+A2+A_2) eklenir. Maksimizasyon için yapay değişken cezaları −M-M olmalıdır.
2
Başlangıç simpleks tablosu için temel değişkenleri ve bunların amaç fonksiyonu katsayılarını (CBC_B) belirle.
Temel değişkenler: A1A_1 ve A2A_2. Her ikisinin de CBC_B katsayısı −M-M'dir.
İlk çözümde birim matrisi oluşturan A1A_1 ve A2A_2 sisteme girer.
3
x1x_1 değişkeni için Z1−C1Z_1 - C_1 değerini hesapla.
Z1=(−M×2)+(−M×1)=−3MZ_1 = (-M \times 2) + (-M \times 1) = -3M. C1=30C_1 = 30. Z1−C1=−3M−30Z_1 - C_1 = -3M - 30.
Net değerlendirme satırı, sütun katsayılarının CBC_B ile çarpımlarının toplamından (ZjZ_j), değişkenin kendi amaç fonksiyonu katsayısının (CjC_j) çıkarılmasıyla elde edilir.
4
x2x_2 değişkeni için Z2−C2Z_2 - C_2 değerini hesapla.
Z2=(−M×1)+(−M×3)=−4MZ_2 = (-M \times 1) + (-M \times 3) = -4M. C2=40C_2 = 40. Z2−C2=−4M−40Z_2 - C_2 = -4M - 40.
Aynı Zj−CjZ_j - C_j mantığı x2x_2 sütunu için de uygulanarak tablonun ilgili hücresi doldurulur.

Anahtar Kavram

Büyük-M Yönteminde Başlangıç Tablosu Kurulumu ve Z Satırı Denklemi
Bu soruyu puanla

Konular

Yapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Bu konudan daha fazla soru