Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Varyansı

Sistematik örnekleme yöntemi kullanılarak bir kitleden örneklem seçildiğinde, tahmin edicilerin varyansı kitle birimlerinin dizilişinden ve birimler arasındaki benzerlikten doğrudan etkilenmektedir. Bu benzerlik kitle içi korelasyon katsayısı (ρ\rho) ile ölçülmektedir. NN birimlik bir kitleden nn birimlik bir örneklem çekilmesi durumunda, sistematik örneklemenin kitle ortalaması tahmin edicisinin varyansının (V(yˉsys)V(\bar{y}_{sys})), iadesiz basit rastgele örnekleme varyansından (V(yˉsrs)V(\bar{y}_{srs})) daha küçük (daha etkin) olması için ρ\rho değerinin sağlaması gereken koşul aşağıdakilerden hangisidir?

  1. ρ<−1N−1\rho < -\frac{1}{N-1}Cevap
  2. B
    ρ>0\rho > 0
  3. C
    ρ<1(n−1)(N−1)\rho < \frac{1}{(n-1)(N-1)}
  4. D
    ρ<−1n−1\rho < -\frac{1}{n-1}
  5. E
    ρ=1\rho = 1

Cevap

Sistematik örneklemenin basit rastgele örneklemeden daha etkin olması için ρ<−1N−1\rho < -\frac{1}{N-1} koşulu sağlanmalıdır.
Sistematik örneklemenin etkinliği, örnekleme giren birimlerin kitleyi ne kadar iyi temsil ettiğiyle ölçülür. Matematiksel olarak V(yˉsys)<V(yˉsrs)V(\bar{y}_{sys}) < V(\bar{y}_{srs}) eşitsizliği çözüldüğünde, kitle içi korelasyon katsayısının ρ<−1N−1\rho < -\frac{1}{N-1} olması gerektiği görülür. Bu durum, sistematik olarak seçilen birimlerin kitledeki diğer birimlerden daha farklı (negatif korelasyonlu) olduğu anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Sistematik örnekleme varyans formülünü belirle.
V(yˉsys)=N−1NS2n[1+(n−1)ρ]V(\bar{y}_{sys}) = \frac{N-1}{N} \frac{S^2}{n} [1 + (n-1)\rho]
Sistematik örneklemede varyans, kitle içi korelasyon katsayısına bağlı olarak ifade edilir.
2
İadesiz basit rastgele örnekleme varyans formülünü belirle.
V(yˉsrs)=N−nNS2nV(\bar{y}_{srs}) = \frac{N-n}{N} \frac{S^2}{n}
Etkinlik karşılaştırması için standart referans olan SRS varyansı gereklidir.
3
Etkinlik şartını (V(yˉsys)<V(yˉsrs)V(\bar{y}_{sys}) < V(\bar{y}_{srs})) kullanarak eşitsizliği kur.
N−1NS2n[1+(n−1)ρ]<N−nNS2n\frac{N-1}{N} \frac{S^2}{n} [1 + (n-1)\rho] < \frac{N-n}{N} \frac{S^2}{n}
Bir yöntemin diğerinden etkin olması, onun varyansının daha küçük olması demektir.
4
Eşitsizliği ρ\rho için çöz.
(N−1)[1+(n−1)ρ]<N−n⇒(N−1)(n−1)ρ<N−n−(N−1)⇒(N−1)(n−1)ρ<1−n⇒ρ<−1N−1(N-1)[1 + (n-1)\rho] < N-n \Rightarrow (N-1)(n-1)\rho < N-n - (N-1) \Rightarrow (N-1)(n-1)\rho < 1-n \Rightarrow \rho < -\frac{1}{N-1}
Sabit değerler sadeleştirildiğinde kitle içi korelasyon için gereken sınır değer elde edilir.

Anahtar Kavram

Sistematik örneklemede etkinlik, kitle birimlerinin dizilişiyle doğrudan ilgilidir; birimler kitle içinde ne kadar 'karışık' (negatif korelasyonlu) dizilirse, sistematik örnekleme o kadar etkin olur.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Varyansı

Bu konudan daha fazla soru