Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Dağılımı

Bir tarım il müdürlüğü ekipleri, bölgedeki seralarda belirli bir bitki hastalığının yaygınlığını araştırmaktadır. Yapılan ön çalışmalara göre, rastgele seçilen herhangi bir serada bu hastalığa rastlanma olasılığı 13\frac{1}{3}'tür. Seraların hastalık taşıma durumlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır.

Denetim için bölgeden rastgele 55 sera seçen bir ziraat mühendisinin, bu seraların en fazla 11'inde söz konusu hastalığa rastlama olasılığı kaçtır?

  1. A
    11243\frac{11}{243}
  2. B
    48243\frac{48}{243}
  3. C
    80243\frac{80}{243}
  4. 112243\frac{112}{243}Cevap
  5. E
    211243\frac{211}{243}

Cevap

İstenen olasılık, X=0X=0 ve X=1X=1 durumlarının olasılıklarının toplamı olan 112243\frac{112}{243} değeridir.
Verilen senaryoda seraların hastalık taşıma durumları birbirinden bağımsızdır ve sabit bir olasılığa (p=13p=\frac{1}{3}) sahiptir. Bu, deneme sayısının n=5n=5 olduğu bir Binom dağılımını gösterir. Soru bizden 'en fazla 1' serada hastalığa rastlanma olasılığını (P(X≤1)P(X \le 1)) istemektedir. Bu ifade P(X=0)P(X=0) ve P(X=1)P(X=1) olasılıklarının toplamını ifade eder. Formül uygulandığında P(X=0)=32243P(X=0) = \frac{32}{243} ve P(X=1)=80243P(X=1) = \frac{80}{243} bulunur. Toplamları olan 112243\frac{112}{243} doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen problemi uygun bir olasılık dağılımı ile modelleyin.
Bağımsız denemeler (seralar) yapıldığı ve her denemede hastalığa rastlanma olasılığı sabit (p=13p=\frac{1}{3}) olduğu için, XX (hastalıklı sera sayısı) rastgele değişkeni Binom(n=5,p=13)Binom(n=5, p=\frac{1}{3}) dağılımına uyar.
İki sonuçlu (hastalık var/yok) ve sabit olasılıklı, birbirinden bağımsız ardışık deneyler Binom dağılımı ile incelenir.
2
Soruda istenen 'en fazla 1' durumunu matematiksel olarak ifade edin.
İstenen durum X≤1X \le 1 eşitsizliğidir. Bu durum X=0X=0 ve X=1X=1 olasılıklarının toplamına eşittir: P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1).
Kesikli olasılık dağılımlarında kümülatif olasılıklar, ilgili sınır içindeki ayrık nokta olasılıklarının toplamı ile bulunur.
3
Binom olasılık formülünü kullanarak P(X=0)P(X=0) değerini hesaplayın.
P(X=0)=(50)(13)0(23)5=1⋅1⋅32243=32243P(X=0) = \binom{5}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{32}{243} = \frac{32}{243}
Hiçbir serada hastalık görülmemesi için tüm denemelerin başarısız (1−p=231-p = \frac{2}{3}) sonuçlanması gerekir.
4
Binom olasılık formülünü kullanarak P(X=1)P(X=1) değerini hesaplayın.
P(X=1)=(51)(13)1(23)4=5⋅13⋅1681=80243P(X=1) = \binom{5}{1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}
Sadece 1 serada hastalık görülmesi için nn denemeden 11'inin seçilmesi ve ilgili başarısızlık durumlarının çarpılması gerekir.
5
Bulunan olasılıkları toplayarak nihai sonuca ulaşın.
P(X≤1)=32243+80243=112243P(X \le 1) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} = \frac{112}{243} olarak bulunur.
Ayrık durumların toplam olasılığı, parçaların olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında kümülatif olasılık (Birikimli dağılım) hesaplama
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru