Examkin

Soru

Zorluk: ZorMultinomiyal Dağılım

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne yapılan maluliyet emekliliği başvuruları incelendikten sonra üç farklı durumdan birine ayrılmaktadır:

- Durum 1: Doğrudan reddedilenler (Olasılık: 0,200,20)
- Durum 2: Ek sağlık kurulu raporu istenenler (Olasılık: 0,300,30)
- Durum 3: Onaylananlar (Olasılık: 0,500,50)

Her bir dosyanın durumu diğerlerinden bağımsız olarak belirlenmektedir. Rastgele seçilen 100100 dosyalık bir partide, Durum 1'e ayrılan dosya sayısı X1X_1 ve Durum 2'ye ayrılan dosya sayısı X2X_2 ile gösterilmektedir. Kurumun iş süreçlerini modellemek için kullandığı "İş Yükü Endeksi" (WW),
W=4X1+3X2W = 4X_1 + 3X_2
formülü ile tanımlanmıştır.

Buna göre, WW endeksinin varyansı (Var(W)Var(W)) kaçtır?

  1. A
    115
  2. B
    373
  3. 301Cevap
  4. D
    445
  5. E
    589

Cevap

İş Yükü Endeksinin varyansı 301'dir.
Doğru hesaplamada, multinomiyal dağılımın özellikleri kullanılarak Var(X1)Var(X_1) ve Var(X2)Var(X_2) değerleri n⋅pi⋅(1−pi)n \cdot p_i \cdot (1-p_i) formülüyle sırasıyla 1616 ve 2121 olarak bulunur. Bu iki değişken arasındaki bağımlılığı gösteren negatif kovaryans değeri −n⋅p1⋅p2=−6-n \cdot p_1 \cdot p_2 = -6 olarak tespit edilir. Son olarak Var(4X1+3X2)=16Var(X1)+9Var(X2)+24Cov(X1,X2)Var(4X_1+3X_2) = 16Var(X_1) + 9Var(X_2) + 24Cov(X_1,X_2) doğrusal dönüşüm kuralı eksiksiz uygulanarak sonuç 256+189−144=301256 + 189 - 144 = 301 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılım türünü ve parametreleri belirleme
Dağılım: Multinomiyal. Parametreler: n=100n = 100, p1=0,20p_1 = 0,20, p2=0,30p_2 = 0,30, p3=0,50p_3 = 0,50.
Sorudaki dosyalar belirli olasılıklarla kategorilere ayrılmaktadır ve toplam dosya sayısı sabittir.
2
X1X_1 ve X2X_2 için marjinal varyansları hesaplama
Var(X1)=16Var(X_1) = 16 ve Var(X2)=21Var(X_2) = 21
Multinomiyal dağılımda her bir kategorinin frekansı binom dağılımına uyar. Var(Xi)=n⋅pi⋅(1−pi)Var(X_i) = n \cdot p_i \cdot (1 - p_i) kuralı uygulanır. Var(X1)=100⋅0,20⋅0,80=16Var(X_1) = 100 \cdot 0,20 \cdot 0,80 = 16 ve Var(X2)=100⋅0,30⋅0,70=21Var(X_2) = 100 \cdot 0,30 \cdot 0,70 = 21 bulunur.
3
X1X_1 ve X2X_2 arasındaki kovaryansı hesaplama
Cov(X1,X2)=−6Cov(X_1, X_2) = -6
Aynı örneklem içinde bir kategoriye düşen eleman sayısı arttıkça diğerlerine kalan eleman sayısı azalacağından, aralarında negatif bir ilişki vardır. Cov(Xi,Xj)=−n⋅pi⋅pjCov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j formülü ile Cov(X1,X2)=−100⋅0,20⋅0,30=−6Cov(X_1, X_2) = -100 \cdot 0,20 \cdot 0,30 = -6 elde edilir.
4
Doğrusal kombinasyonun varyans formülünü (Var(W)Var(W)) uygulama
Var(4X1+3X2)=16⋅Var(X1)+9⋅Var(X2)+24⋅Cov(X1,X2)Var(4X_1 + 3X_2) = 16 \cdot Var(X_1) + 9 \cdot Var(X_2) + 24 \cdot Cov(X_1, X_2)
Var(aX+bY)=a2⋅Var(X)+b2⋅Var(Y)+2ab⋅Cov(X,Y)Var(aX + bY) = a^2 \cdot Var(X) + b^2 \cdot Var(Y) + 2ab \cdot Cov(X, Y) genel özelliği kullanılır.
5
Bulunan değerleri formülde yerine koyma
16(16)+9(21)+24(−6)=256+189−144=30116(16) + 9(21) + 24(-6) = 256 + 189 - 144 = 301
Hesaplanan varyans ve kovaryans değerleri kullanılarak son matematiksel işlem tamamlanır.

Anahtar Kavram

Multinomiyal dağılımda marjinal varyanslar ve değişkenler arası bağımlılığı (kovaryans) kullanarak doğrusal dönüşüm varyansını hesaplama.
Bu soruyu puanla

Konular

Multinomiyal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru