Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir fabrikada üretilen belirli bir elektronik parçanın kusurlu olma olasılığı θ\theta'dır. Üretim bandından rastgele seçilen nn adet parçanın XX tanesinin kusurlu olduğu gözlemlenmiştir (X∼Bin(n,θ)X \sim Bin(n, \theta)).

θ\theta parametresini tahmin etmek için karesel kayıp fonksiyonu L(θ,θ^)=(θ−θ^)2L(\theta, \hat{\theta}) = (\theta - \hat{\theta})^2 kullanılmaktadır.

Buna göre, θ^=X+an+b\hat{\theta} = \frac{X + a}{n + b} formundaki bir tahmin edicinin θ\theta için minimax tahmin edici olması için aa ve bb sabitleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olmalıdır?

  1. A
    12\frac{1}{2} ve n\sqrt{n}
  2. B
    n\sqrt{n} ve n\sqrt{n}
  3. n2\frac{\sqrt{n}}{2} ve n\sqrt{n}Cevap
  4. D
    11 ve 22
  5. E
    00 ve 00

Cevap

Minimax tahmin edici olması için katsayılar sırasıyla n2\frac{\sqrt{n}}{2} ve n\sqrt{n} olmalıdır.
Karesel kayıp fonksiyonu kullanıldığında, θ^\hat{\theta} Bayes tahmin edicisinin minimax olabilmesi için riskinin sabit, yani θ\theta'dan bağımsız olması gerekir. Risk fonksiyonu R(θ,θ^)=θ2(b2−n)+θ(n−2ab)+a2(n+b)2R(\theta, \hat{\theta}) = \frac{\theta^2(b^2 - n) + \theta(n - 2ab) + a^2}{(n+b)^2} olarak hesaplanır. Bu ifadenin θ\theta'dan bağımsız olabilmesi için θ2\theta^2'li ve θ\theta'lı terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Buradan b2−n=0  ⟹  b=nb^2 - n = 0 \implies b = \sqrt{n} ve n−2ab=0  ⟹  a=n2n - 2ab = 0 \implies a = \frac{\sqrt{n}}{2} değerleri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Risk fonksiyonunu Hata Kareler Ortalaması (MSE) üzerinden R(θ,θ^)=Var(θ^)+[Yan(θ^)]2R(\theta, \hat{\theta}) = Var(\hat{\theta}) + [Yan(\hat{\theta})]^2 şeklinde yazmak.
R(θ,θ^)=Var(X+an+b)+[E(X+an+b)−θ]2R(\theta, \hat{\theta}) = Var\left(\frac{X+a}{n+b}\right) + \left[E\left(\frac{X+a}{n+b}\right) - \theta\right]^2
Karesel kayıp fonksiyonu altında tahmin edicinin riski, varyansı ile yan miktarının karesinin toplamına eşittir.
2
X∼Bin(n,θ)X \sim Bin(n, \theta) dağılımının beklenen değer ve varyansını kullanarak risk fonksiyonunu oluşturmak.
R(θ,θ^)=nθ(1−θ)(n+b)2+(nθ+an+b−θ)2R(\theta, \hat{\theta}) = \frac{n\theta(1-\theta)}{(n+b)^2} + \left(\frac{n\theta+a}{n+b} - \theta\right)^2
Risk formülündeki terimleri θ\theta parametresine bağlı olarak açıkça ifade etmek gerekir.
3
Elde edilen risk fonksiyonunu genişletmek ve θ\theta'nın derecelerine göre gruplandırmak.
R(θ,θ^)=θ2(b2−n)+θ(n−2ab)+a2(n+b)2R(\theta, \hat{\theta}) = \frac{\theta^2(b^2 - n) + \theta(n - 2ab) + a^2}{(n+b)^2}
Riskin θ\theta'ya nasıl bağlı olduğunu görmek için cebirsel düzenleme yapılmalıdır.
4
Bir Bayes tahmin edicisinin minimax olabilmesi için sabit riskli olması koşulunu kullanmak, yani θ2\theta^2 ve θ\theta katsayılarını sıfıra eşitlemek.
b2−n=0  ⟹  b=nb^2 - n = 0 \implies b = \sqrt{n} ve n−2ab=0  ⟹  a=n2n - 2ab = 0 \implies a = \frac{\sqrt{n}}{2} bulunur.
Sabit riskli (risk fonksiyonu parametreden bağımsız olan) bir Bayes tahmin edicisi her zaman minimax tahmin edicidir.

Anahtar Kavram

Karesel Kayıp Altında Minimax Tahmin Edici ve Sabit Risk Özelliği
Tahmini Süre:4m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru