Bir araştırmacı, kentsel dönüşüm projelerinde 'Hanehalkı Gelir Düzeyi' (X) ile 'Yeni Konut… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kentsel dönüşüm projelerinde 'Hanehalkı Gelir Düzeyi' ( $X$ ) ile 'Yeni Konut Memnuniyet Derecesi' ( $Y$ ) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Her iki değişken de sıralama (ordinal) ölçeğinde ölçülmüş olup, gelir düzeyi bağımsız ( $X$ ), memnuniyet derecesi ise bağımlı ( $Y$ ) değişken olarak tanımlanmıştır.

Yapılan çapraz tablo analizinde, $X$ değişkeninde aynı sıralama değerine sahip olup $Y$ değişkeninde farklı değerler alan ( $T_x$ ) çok sayıda gözlem çifti bulunmuştur. Ancak, $Y$ değişkeninde aynı değere sahip olup $X$ değişkeninde farklı değerler alan hiçbir gözlem çifti ( $T_y = 0$ ) bulunmamaktadır.

Buna göre, veri setindeki ilişkiyi açıklamak için hesaplanacak Somers' $d_{y|x}$ ( $Y$ 'nin $X$ 'e bağımlılığı) istatistiğinin teorik yapısı ve diğer uyum katsayılarıyla ilişkisi hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Somers' $d_{y|x}$ katsayısının paydasında yalnızca bağımsız değişkende ( $X$ ) birbirinden farklı olan çiftler ( $N_c + N_d + T_y$ ) dikkate alındığından ve $T_y = 0$ olduğundan, katsayının değeri Goodman-Kruskal $\gamma$ ile aynı çıkacaktır.Cevap
B
Somers' $d_{y|x}$ asimetrik bir ölçü olduğundan, formülün paydasına $T_x$ gözlem çiftlerini ceza olarak ekler ve bu nedenle $\gamma$ katsayısından daha düşük bir değer alır.
C
Katsayının hesaplanmasında bağımlı ve bağımsız değişkenin yer değiştirmesi sonucu etkilemeyeceğinden, $T_x$ değerinin varlığı $d_{y|x}$ ve $d_{x|y}$ istatistiklerini eşitleyerek simetrik bir sonuç üretir.
D
Bağımlı değişkende bağlı çiftlerin olmaması ( $T_y = 0$ ), sıralama (ordinal) yapısının yetersiz olduğunu gösterdiğinden, asimetrik Somers' $d$ yerine simetrik özellik gösteren Cramer's V kullanılmalıdır.
E
Değişkenlerden birinde bağlı gözlem ( $T_x > 0$ ) bulunması, kare tablo varsayımını bozduğundan Somers' $d_{y|x}$ yerine doğrudan Kendall'ın $\tau_c$ katsayısının hesaplanmasını zorunlu kılar.

Cevap

Verilen koşullarda (

T_y = 0

), Somers'

d_{y|x}

istatistiğinin formülü sadeleşerek Goodman-Kruskal

\gamma

katsayısının formülü ile tam olarak aynı matematiksel ifadeye dönüşür.

Somers'

d_{y|x}

istatistiği,

X

bağımsız değişkenine karşılık

Y

bağımlı değişkenini öngörmek için kullanılır ve formülü

d_{y|x} = \frac{N_c - N_d}{N_c + N_d + T_y}

şeklindedir. Senaryoda bağımlı değişkene (

Y

) ait bağlı gözlem çiftlerinin bulunmadığı (

T_y = 0

) belirtilmiştir. Bu durumda katsayının paydası

N_c + N_d

değerine eşit olur. Goodman-Kruskal

\gamma

katsayısının formülü de

\frac{N_c - N_d}{N_c + N_d}

olduğundan, bu özel veri yapısında hesaplanan iki katsayı matematiksel olarak aynı sonucu verecektir.

Adım Adım Çözüm

Somers' d_{y|x} formülünün bileşenlerinin belirlenmesi

d_{y|x} = (N_c - N_d) / (N_c + N_d + T_y) formülü tespit edilir.

Y bağımlı, X bağımsız değişken olduğunda, katsayının paydasında yalnızca bağımsız değişkende birbirinden farklı olan (N_c + N_d + T_y) gözlem çiftleri yer alır.

Goodman-Kruskal gamma katsayısı formülünün belirlenmesi

\gamma = (N_c - N_d) / (N_c + N_d) formülü tespit edilir.

Gamma katsayısı bağlı gözlemleri (ties) formülasyonuna dâhil etmez, sadece uyumlu ve uyumsuz çiftler üzerinden hesaplanır.

Senaryodaki veri yapısının formüle entegre edilmesi

Soruda verilen T_y = 0 koşulu Somers' d formülünde yerine konulur: d_{y|x} = (N_c - N_d) / (N_c + N_d + 0).

Bağımlı değişkende eşleşen çift olmadığı için paydadaki T_y terimi sıfırlanır.

Katsayıların karşılaştırılması ve sonucun yorumlanması

Sadeleşen Somers' d formülünün, \gamma katsayısının formülüyle birebir aynı olduğu görülür.

Her iki istatistiğin pay ve paydaları matematiksel olarak eşitlendiğinden, elde edilecek değerler de kesinlikle eşit çıkacaktır.

Anahtar Kavram

Somers' d katsayısında asimetrik payda hesaplaması ve gamma ile ilişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru