Bir tarım kooperatifi, bünyesinde bulunan N = 1000 üreticinin bu yılki ortalama ayçiçeği r… — KPSS İstatistik

Bir tarım kooperatifi, bünyesinde bulunan $N = 1000$ üreticinin bu yılki ortalama ayçiçeği rekoltesini ( $\bar{Y}$ ) tahmin etmek amacıyla basit rastgele iadesiz örnekleme yöntemiyle $n = 100$ üretici seçmiştir. Üreticilerin bir önceki yıla ait rekolte değerleri ( $x$ ) tam olarak bilinmektedir ve yardımcı değişken olarak kullanılacaktır.

Örneklemden elde edilen istatistikler aşağıdaki gibidir:
- $s_y^2 = 250$ (Bu yılki rekoltenin örneklem varyansı)
- $s_x^2 = 200$ (Geçen yılki rekoltenin örneklem varyansı)
- $s_{xy} = 175$ (İki yılın rekoltesi arasındaki örneklem kovaryansı)

Araştırmacı, kitle ortalamasını tahmin etmek için sabit bir $c=1$ katsayısı alınarak oluşturulan $\bar{y}_d = \bar{y} + c(\bar{X} - \bar{x})$ formülüne sahip fark tahminleyicisini kullanmaya karar vermiştir.

Buna göre, fark tahminleyicisinin tahmini varyansı ( $\hat{V}(\bar{y}_d)$ ) kaçtır ve bu tahminleyicinin yansızlık özelliği hakkında aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

Tahmini varyans: $0,90$ ; Yansız bir tahminleyicidir.Cevap
B
Tahmini varyans: $0,90$ ; Yanlı bir tahminleyicidir (yalnızca asimptotik olarak yansızdır).
C
Tahmini varyans: $1,00$ ; Yansız bir tahminleyicidir.
D
Tahmini varyans: $4,05$ ; Yansız bir tahminleyicidir.
E
Tahmini varyans: $7,20$ ; Yanlı bir tahminleyicidir (yalnızca asimptotik olarak yansızdır).

Cevap

Fark tahminleyicisinin tahmini varyansı 0,90 olarak hesaplanır ve bu tahminleyici kitle ortalaması için yansız bir tahminleyicidir.

Fark tahminleyicisi formülü

\bar{y}_d = \bar{y} + c(\bar{X} - \bar{x})

yapısında olup buradaki

c

katsayısı sabit bir değerdir. Beklenen değeri alındığında

E(\bar{y}_d) = E(\bar{y}) + c(E(\bar{X}) - E(\bar{x})) = \bar{Y} + c(\bar{X} - \bar{X}) = \bar{Y}

elde edilir, dolayısıyla her koşulda tam yansızdır. Varyans ise

\frac{1-f}{n}(s_y^2 + c^2 s_x^2 - 2c s_{xy})

formülüyle hesaplanır. Çarpan

(1 - 0.1)/100 = 0.009

, parantez içi ise

250 + 200 - 350 = 100

olduğundan sonuç

0,90

çıkar.

Adım Adım Çözüm

Sabit katsayılı fark tahminleyicisinin tahmini varyans formülünü belirleme

\hat{V}(\bar{y}_d) = \frac{1-f}{n}(s_y^2 + c^2 s_x^2 - 2c s_{xy})

formülü kullanılır.

Yardımcı değişken bilgisiyle oluşturulan ve katsayısı sabit olan tahminleyicinin varyansını hesaplayabilmek için.

Sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) ve formülün katsayısını hesaplama

f = \frac{n}{N} = \frac{100}{1000} = 0,10 \implies 1-f = 0,90

. Formülün katsayısı:

\frac{1-f}{n} = \frac{0,90}{100} = 0,009

bulunur.

Örnekleme iadesiz olarak yapıldığından ve

n/N > 0.05

olduğundan SKD dikkate alınmalıdır.

Verilen değerleri formülde yerine koyarak varyansı hesaplama

Parantez içi:

250 + (1)^2 \cdot 200 - 2 \cdot 1 \cdot 175 = 450 - 350 = 100

. Tahmini varyans:

0,009 \times 100 = 0,90

olarak elde edilir.

İki değişkenin varyansları ve kovaryansı kullanılarak fark tahminleyicisinin yayılımı bulunur.

Tahminleyicinin yansızlık özelliğini teorik olarak değerlendirme

Tahminleyici yansızdır sonucuna varılır.

Oran ve regresyon tahminleyicilerinin aksine, fark tahminleyicisinde kullanılan

c

katsayısı rastgele bir değişken değil, önceden belirlenmiş sabit bir değerdir. Bu nedenle

E(\bar{y}_d) = \bar{Y}

eşitliği her örneklem büyüklüğü için tam olarak sağlanır.

Anahtar Kavram

Fark tahminleyicisinin sabit bir katsayı altında her zaman yansız olması ve varyansının hesaplanması

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru