Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğrusal Programlama Modeli Kurma

Bir büyükşehir belediyesi, sürdürülebilir enerji projesi kapsamında iki farklı türde yenilenebilir enerji ünitesi (x1x_1: Güneş Enerji Ünitesi, x2x_2: Rüzgâr Enerji Ünitesi) kurmayı planlamaktadır. Her bir güneş ünitesi 4 birim depolama alanı ve 2 birim periyodik bakım işgücü gerektirirken; her bir rüzgâr ünitesi 3 birim depolama alanı ve 5 birim periyodik bakım işgücü gerektirmektedir. Belediyenin toplam depolama alanı en fazla 120 birim, toplam periyodik bakım işgücü ise en fazla 100 birim ile sınırlandırılmıştır. Ayrıca, projenin verimliliği için güneş ünitesi sayısının (x1x_1) en az 10 adet olması zorunluluğu bulunmaktadır. Güneş ünitesi başına karbon salınımı tasarrufu 10 birim, rüzgâr ünitesi başına ise 15 birimdir. Belediyenin toplam karbon salınımı tasarrufunu en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. max⁡z=10x1+15x2kısıtlar:4x1+3x2≤1202x1+5x2≤100x1≥10x1,x2≥0\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}Cevap
  2. B
    min⁡z=10x1+15x2kısıtlar:4x1+3x2≤1202x1+5x2≤100x1≥10x1,x2≥0\begin{aligned} \min z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}
  3. C
    max⁡z=10x1+15x2kısıtlar:4x1+3x2≥1202x1+5x2≥100x1≥10x1,x2≥0\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\geq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\geq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}
  4. D
    max⁡z=10x1+15x2kısıtlar:4x1+3x2≤1202x1+5x2≤100x1≤10x1,x2≥0\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\leq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}
  5. E
    max⁡z=15x1+10x2kısıtlar:4x1+3x2≤1202x1+5x2≤100x1≥10x1,x2≥0\begin{aligned} \max z &= 15x_1 + 10x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevap

Maksimizasyon amaçlı, depolama ve işgücü kısıtları küçük-eşit (≤), güneş ünitesi alt sınırı büyük-eşit (≥) olan model doğrudur.
Karbon tasarrufu maksimize edilmek istendiği için amaç fonksiyonu max⁡z\max z olmalıdır. Depolama (120) ve işgücü (100) üst sınırları 'en fazla' ifadesi nedeniyle ≤\leq işaretiyle, güneş ünitesi alt sınırı (10) ise 'en az' ifadesi nedeniyle ≥\geq işaretiyle modellenmelidir. Bu koşulların tamamını sağlayan yapı maksimizasyon içeren ve kısıt yönleri doğru olan modeldir.

Adım Adım Çözüm

1
Amaç fonksiyonunun belirlenmesi
max⁡z=10x1+15x2\max z = 10x_1 + 15x_2
Problem toplam karbon salınımı tasarrufunu en üst düzeye çıkarmayı (maksimizasyon) amaçlamaktadır.
2
Kaynak (kapasite) kısıtlarının oluşturulması
4x1+3x2≤1204x_1 + 3x_2 \leq 120 ve 2x1+5x2≤1002x_1 + 5x_2 \leq 100
Depolama ve işgücü için 'en fazla' (üst sınır) ifadesi kullanıldığından kısıtlar küçük-eşit olmalıdır.
3
Politika kısıtının eklenmesi
x1≥10x_1 \geq 10
Güneş ünitesi sayısı için 'en az' (alt sınır) şartı getirildiğinden kısıt büyük-eşit olmalıdır.
4
İşaret kısıtlarının tanımlanması
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0
Fiziksel birim sayıları negatif olamayacağı için doğrusal programlama varsayımı gereği eklenmelidir.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada sözel ifadelerin (en az, en çok) matematiksel eşitsizliklere dönüştürülmesi ve amaç yönünün (maksimizasyon/minimizasyon) belirlenmesi.
Tahmini Süre:1m 40s
Bu soruyu puanla

Konular

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

Bu konudan daha fazla soru