Doğrusal Programlama Modeli Kurma Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir kamu kurumu matbaasında iki farklı türde broşür ( $x_1$ : Bilgilendirme ve $x_2$ : Tanıtım) basılmaktadır. Kurumun her bir Bilgilendirme broşüründen elde ettiği sosyal fayda puanı 60, her bir Tanıtım broşüründen elde ettiği sosyal fayda puanı ise 80'dir. Kurum, toplam sosyal faydayı en üst düzeye çıkarmayı hedeflemektedir. Basım sürecinde kullanılan kaynaklar ve kısıtlar şöyledir:

- Bilgilendirme broşürü 3 birim kağıt, Tanıtım broşürü 5 birim kağıt tüketmektedir. Toplam kağıt stoğu 500 birimdir ve bu miktar aşılamaz.
- Bilgilendirme broşürünün basımı 2 saat, Tanıtım broşürünün basımı 2 saat sürmektedir. Toplam çalışma süresi 200 saati geçmemelidir.
- Kurumsal politikalar gereği, basılan toplam broşür sayısının en az 80 adet olması gerekmektedir.

Buna göre, bu problemin doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\text{Maks } Z = 60x_1 + 80x_2

3x_1 + 5x_2 \leq 500

2x_1 + 2x_2 \leq 200

x_1 + x_2 \geq 80

x_1, x_2 \geq 0

\text{Min } Z = 60x_1 + 80x_2

3x_1 + 5x_2 \leq 500

2x_1 + 2x_2 \leq 200

x_1 + x_2 \geq 80

x_1, x_2 \geq 0

\text{Maks } Z = 60x_1 + 80x_2

3x_1 + 5x_2 \geq 500

2x_1 + 2x_2 \geq 200

x_1 + x_2 \leq 80

x_1, x_2 \geq 0

\text{Maks } Z = 60x_1 + 80x_2

3x_1 + 5x_2 \leq 500

2x_1 + 2x_2 \leq 200

x_1 + x_2 \leq 80

x_1, x_2 \geq 0

\text{Maks } Z = 80x_1 + 60x_2

3x_1 + 5x_2 \leq 500

2x_1 + 2x_2 \leq 200

x_1 + x_2 \geq 80

x_1, x_2 \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{Maks } Z = 60x_1 + 80x_2$
$3x_1 + 5x_2 \leq 500$
$2x_1 + 2x_2 \leq 200$
$x_1 + x_2 \geq 80$
$x_1, x_2 \geq 0$

Cevap

Sosyal faydayı maksimize eden, kağıt ve zaman sınırlarını küçük-eşit (<=) kısıtlarıyla, asgari üretim miktarını ise büyük-eşit (>=) kısıtıyla temsil eden model doğrudur.

Doğru model, fayda puanlarını (60 ve 80) maksimize etmeye yönelik amaç fonksiyonunu kurar. Kağıt (500 birim) ve zaman (200 saat) gibi kısıtlı kaynakları 'küçük-eşit' (

\leq

) olarak, broşür üretim kotasını (80 adet) ise 'en az' şartı gereği 'büyük-eşit' (

\geq

) olarak ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımlayın.

x_1

: Bilgilendirme broşürü sayısı,

x_2

: Tanıtım broşürü sayısı.

Modelin temel bileşenlerini belirlemek için değişken tanımı gereklidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluşturun.

Maks

Z = 60x_1 + 80x_2

Problem toplam sosyal faydayı en üst düzeye çıkarmayı (maksimizasyon) hedeflemektedir.

3

Kaynak kısıtlarını (kağıt ve zaman) yazın.

Kağıt:

3x_1 + 5x_2 \leq 500

; Zaman:

2x_1 + 2x_2 \leq 200

Eldeki kaynaklar sınırlıdır ve bu miktarların aşılması mümkün değildir (küçük-eşit).

4

Politika (kota) kısıtını ekleyin.

x_1 + x_2 \geq 80

Toplam üretimin 'en az' belirli bir seviyede olması istenmektedir (büyük-eşit).

5

Negatif olmama kısıtlarını ekleyin.

x_1, x_2 \geq 0

Fiziksel üretim miktarları negatif değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 2Soru →

Bir kamu kurumu sosyal sorumluluk projesi kapsamında "Eğitim Desteği" ( $x_1$ ) ve "Sağlık Taraması" ( $x_2$ ) faaliyetleri yürütmektedir. Faaliyetlere ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Faaliyet Türü	Sosyal Fayda (Birim)	Maliyet (TL/Adet)	Personel Süresi (Saat/Adet)
Eğitim Desteği ( $x_1$ )	$10$	$200$	$2$
Sağlık Taraması ( $x_2$ )	$12$	$300$	$1$
Toplam Kapasite	-	$60.000$ TL	$400$ Saat

Kurum, sosyal politika gereği eğitim desteği faaliyetinden en az $50$ adet gerçekleştirmek zorundadır.

Buna göre, kurumun toplam sosyal faydasını maksimize edecek doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\text{Maks } Z = 10x_1 + 12x_2

\text{Kısıtlar:}

200x_1 + 300x_2 \leq 60.000

2x_1 + x_2 \leq 400

x_1 \geq 50

x_1, x_2 \geq 0

\text{Min } Z = 10x_1 + 12x_2

\text{Kısıtlar:}

200x_1 + 300x_2 \leq 60.000

2x_1 + x_2 \leq 400

x_1 \geq 50

x_1, x_2 \geq 0

\text{Maks } Z = 10x_1 + 12x_2

\text{Kısıtlar:}

200x_1 + 300x_2 \geq 60.000

2x_1 + x_2 \geq 400

x_1 \geq 50

x_1, x_2 \geq 0

\text{Maks } Z = 12x_1 + 10x_2

\text{Kısıtlar:}

200x_1 + 300x_2 \leq 60.000

2x_1 + x_2 \leq 400

x_1 \geq 50

x_1, x_2 \geq 0

\text{Maks } Z = 10x_1 + 12x_2

\text{Kısıtlar:}

200x_1 + 300x_2 \leq 60.000

2x_1 + x_2 \leq 400

x_1 \leq 50

x_1, x_2 \geq 0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\text{Maks } Z = 10x_1 + 12x_2$
$\text{Kısıtlar:}$
$200x_1 + 300x_2 \leq 60.000$
$2x_1 + x_2 \leq 400$
$x_1 \geq 50$
$x_1, x_2 \geq 0$

Cevap

Sosyal faydayı maksimize eden, bütçe ve zaman kısıtlarını üst sınır (küçük-eşit) olarak belirleyen ve politika gereği eğitim desteğini en az 50 birim (büyük-eşit) olarak tanımlayan model doğrudur.

Doğru modelde, sosyal fayda katsayıları (

10

ve

12

) amaç fonksiyonunda toplama dahil edilerek maksimizasyon hedeflenmiştir. Bütçe (

60.000

) ve personel süresi (

400

) için verilen kapasiteler 'en fazla' olduğu için küçük-eşit

(\leq)

yönünde kısıtlanmıştır. Sosyal politika gereği belirtilen 'en az

50

' şartı ise büyük-eşit

(\geq)

sembolü ile doğru şekilde modele yansıtılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımla.

x_1

: Eğitim Desteği adedi,

x_2

: Sağlık Taraması adedi.

Modelin temel bileşenlerini belirlemek için değişkenlerin tanımlanması gerekir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

Z_{max} = 10x_1 + 12x_2

Toplam sosyal faydanın maksimize edilmesi hedeflendiği için her faaliyetin birim faydası ilgili değişkenle çarpılır.

3

Kaynak kısıtlarını yaz.

Bütçe için

200x_1 + 300x_2 \leq 60.000

ve süre için

2x_1 + 1x_2 \leq 400

.

Bütçe ve süre kısıtlı kaynaklar olduğu için toplam kullanım kapasiteyi aşmamalıdır.

4

Politika ve işaret kısıtlarını ekle.

x_1 \geq 50

ve

x_1, x_2 \geq 0

.

En az 50 adet şartı büyük-eşit ile, fiziksel kısıtlar ise negatif olmama şartıyla ifade edilir.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada sözel ifadelerin matematiksel kısıt yönlerine (<=, >=) ve amaç fonksiyonu yönüne (Maks, Min) doğru dönüştürülmesi.

Daha Fazla Pratik

Kısıtlara 'eğitim desteği miktarı, toplam faaliyetin en az %20'si olmalıdır' gibi oran kısıtları ekleyerek model kurma pratiği yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Bir belediye, katı atık toplama hizmetlerinde kullanılmak üzere iki farklı tipte araç (Tip A ve Tip B) işletmektedir. Bu hizmete ilişkin veriler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Parametre	Tip A ( $x_1$ )	Tip B ( $x_2$ )	Kısıt / Gereksinim
Günlük İşletme Maliyeti (TL)	$500$	$800$	En küçüklenmeli
Atık Toplama Kapasitesi (Ton/Gün)	$2$	$5$	En az $100$ ton
Gerekli Personel Sayısı (Kişi)	$2$	$3$	En çok $80$ kişi

Belediyenin toplam günlük işletme maliyetini en küçüklemek amacıyla kurması gereken doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \min Z &= 500x_1 + 800x_2 \\ 2x_1 + 5x_2 &\geq 100 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 500x_1 + 800x_2 \\ 2x_1 + 5x_2 &\geq 100 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 500x_1 + 800x_2 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 500x_1 + 800x_2 \\ 2x_1 + 5x_2 &\geq 100 \\ 2x_1 + 3x_2 &\geq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 800x_1 + 500x_2 \\ 5x_1 + 2x_2 &\geq 100 \\ 3x_1 + 2x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \min Z &= 500x_1 + 800x_2 \\ 2x_1 + 5x_2 &\geq 100 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maliyetin en küçüklenmesini hedefleyen, atık kapasitesi için büyük-eşit (≥ 100), personel sayısı için küçük-eşit (≤ 80) ve non-negatiflik kısıtlarını içeren model doğrudur.

Doğru modelde, maliyetlerin minimize edilmesi hedeflenmiş (

Z = 500x_1 + 800x_2

), atık toplama için gereken minimum seviye büyük-eşit (

\geq 100

) ile, personel kaynağının sınırlılığı ise küçük-eşit (

\leq 80

) ile doğru bir şekilde ifade edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerinin tanımlanması

x_1

: İşletilen Tip A araç sayısı,

x_2

: İşletilen Tip B araç sayısı.

Modelin temel bileşenlerini belirlemek için değişkenlerin tanımlanması gerekir.

2

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

\min Z = 500x_1 + 800x_2

Problemde toplam günlük işletme maliyetinin en küçüklenmesi istenmektedir.

3

Kısıtlayıcı koşulların belirlenmesi

Atık kapasitesi:

2x_1 + 5x_2 \geq 100

; Personel sınırı:

2x_1 + 3x_2 \leq 80

.

'En az' ifadesi alt sınırı (\geq), 'en çok' ifadesi üst sınırı (\leq) temsil eder.

4

İşaret kısıtlarının eklenmesi

x_1, x_2 \geq 0

Araç sayıları negatif değer alamayacağı için doğrusal programlama varsayımları gereği eklenmelidir.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada sözel ifadelerin matematiksel eşitsizliklere ve amaç fonksiyonuna dönüştürülmesi.

Soru 4Soru →

Bir Orman Bölge Müdürlüğü, tahsis edilen bir sahada Çam ( $x_1$ ) ve Meşe ( $x_2$ ) fidanları dikerek bir ağaçlandırma projesi yürütmektedir. Her bir Çam fidanının yıllık ortalama karbon tutma kapasitesi 5 birim, her bir Meşe fidanının ise 8 birimdir. Müdürlük, bu projeyle toplam karbon tutma kapasitesini en üst düzeye çıkarmayı hedeflemektedir. Bir Çam fidanının dikim maliyeti 10 TL, bir Meşe fidanının dikim maliyeti ise 15 TL'dir ve bu iş için ayrılan toplam bütçe 300.000 TL'dir. Dikim yapılacak toplam alan en fazla 50.000 $m^2$ olup; bir Çam fidanı 2 $m^2$ , bir Meşe fidanı ise 3 $m^2$ alan kaplamaktadır. Ayrıca, ekosistem çeşitliliğini korumak amacıyla sahaya en az 2.000 adet Meşe fidanı dikilmesi zorunluluğu bulunmaktadır.

Buna göre, bu problemin matematiksel modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{maks } z &= 5x_1 + 8x_2 \\ 10x_1 + 15x_2 &\leq 300.000 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 50.000 \\ x_2 &\geq 2.000 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{min } z &= 5x_1 + 8x_2 \\ 10x_1 + 15x_2 &\leq 300.000 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 50.000 \\ x_2 &\geq 2.000 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } z &= 5x_1 + 8x_2 \\ 10x_1 + 15x_2 &\leq 300.000 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 50.000 \\ x_2 &\leq 2.000 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } z &= 5x_1 + 8x_2 \\ 10x_1 + 15x_2 &\geq 300.000 \\ 2x_1 + 3x_2 &\geq 50.000 \\ x_2 &\geq 2.000 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } z &= 10x_1 + 15x_2 \\ 5x_1 + 8x_2 &\leq 300.000 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 50.000 \\ x_2 &\geq 2.000 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{maks } z &= 5x_1 + 8x_2 \\ 10x_1 + 15x_2 &\leq 300.000 \\ 2x_1 + 3x_2 &\leq 50.000 \\ x_2 &\geq 2.000 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Toplam karbon tutma kapasitesini maksimize eden, bütçe ve alan kısıtlarının küçük eşit, asgari Meşe fidanı kısıtının ise büyük eşit olduğu model doğrudur.

Doğru modelde, karbon tutma kapasitesi maksimize edilmekte (maks

z = 5x_1 + 8x_2

); bütçe ve alan gibi sınırlı kaynaklar küçük eşit (<=) ile, asgari Meşe fidanı dikim şartı ise büyük eşit (>=) ile ifade edilmektedir. Tüm bu unsurlar ve negatif olmama kısıtları bu modelde tam ve doğru olarak yer almaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımla.

x_1

: Dikilecek Çam fidanı sayısı,

x_2

: Dikilecek Meşe fidanı sayısı.

Modelin temel bileşenlerini belirlemek için gereklidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

z = 5x_1 + 8x_2

ve hedef 'en üst düzeye çıkarmak' olduğu için 'maks

z

'.

Problemde karbon tutma kapasitesinin maksimize edilmesi istenmektedir.

3

Kısıtlayıcı faktörleri denkleme dök.

Maliyet:

10x_1 + 15x_2 \leq 300.000

, Alan:

2x_1 + 3x_2 \leq 50.000

.

'En fazla' veya 'bütçe' ifadeleri üst sınırı temsil ettiği için küçük eşit yönü kullanılır.

4

Zorunlu miktarı (asgari şartı) ekle.

x_2 \geq 2.000

.

'En az' ifadesi alt sınırı temsil ettiği için büyük eşit yönü kullanılır.

5

Negatif olmama kısıtlarını ekle.

x_1, x_2 \geq 0

.

Fidan sayıları negatif değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

Soru 5Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, sürdürülebilir enerji projesi kapsamında iki farklı türde yenilenebilir enerji ünitesi ( $x_1$ : Güneş Enerji Ünitesi, $x_2$ : Rüzgâr Enerji Ünitesi) kurmayı planlamaktadır. Her bir güneş ünitesi 4 birim depolama alanı ve 2 birim periyodik bakım işgücü gerektirirken; her bir rüzgâr ünitesi 3 birim depolama alanı ve 5 birim periyodik bakım işgücü gerektirmektedir. Belediyenin toplam depolama alanı en fazla 120 birim, toplam periyodik bakım işgücü ise en fazla 100 birim ile sınırlandırılmıştır. Ayrıca, projenin verimliliği için güneş ünitesi sayısının ( $x_1$ ) en az 10 adet olması zorunluluğu bulunmaktadır. Güneş ünitesi başına karbon salınımı tasarrufu 10 birim, rüzgâr ünitesi başına ise 15 birimdir. Belediyenin toplam karbon salınımı tasarrufunu en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\geq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\geq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\leq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max z &= 15x_1 + 10x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \max z &= 10x_1 + 15x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 4x_1 + 3x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + 5x_2 &\leq 100 \\ x_1 &\geq 10 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maksimizasyon amaçlı, depolama ve işgücü kısıtları küçük-eşit (≤), güneş ünitesi alt sınırı büyük-eşit (≥) olan model doğrudur.

Karbon tasarrufu maksimize edilmek istendiği için amaç fonksiyonu

\max z

olmalıdır. Depolama (120) ve işgücü (100) üst sınırları 'en fazla' ifadesi nedeniyle

\leq

işaretiyle, güneş ünitesi alt sınırı (10) ise 'en az' ifadesi nedeniyle

\geq

işaretiyle modellenmelidir. Bu koşulların tamamını sağlayan yapı maksimizasyon içeren ve kısıt yönleri doğru olan modeldir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunun belirlenmesi

\max z = 10x_1 + 15x_2

Problem toplam karbon salınımı tasarrufunu en üst düzeye çıkarmayı (maksimizasyon) amaçlamaktadır.

2

Kaynak (kapasite) kısıtlarının oluşturulması

4x_1 + 3x_2 \leq 120

ve

2x_1 + 5x_2 \leq 100

Depolama ve işgücü için 'en fazla' (üst sınır) ifadesi kullanıldığından kısıtlar küçük-eşit olmalıdır.

3

Politika kısıtının eklenmesi

x_1 \geq 10

Güneş ünitesi sayısı için 'en az' (alt sınır) şartı getirildiğinden kısıt büyük-eşit olmalıdır.

4

İşaret kısıtlarının tanımlanması

x_1, x_2 \geq 0

Fiziksel birim sayıları negatif olamayacağı için doğrusal programlama varsayımı gereği eklenmelidir.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlamada sözel ifadelerin (en az, en çok) matematiksel eşitsizliklere dönüştürülmesi ve amaç yönünün (maksimizasyon/minimizasyon) belirlenmesi.

Tahmini Süre:1m 40s

Soru 6Soru →

Bir kamu araştırma merkezi, stratejik planlama kapsamında 'Sektörel Analiz Raporu' ( $x_1$ ) ve 'Politika Değerlendirme Raporu' ( $x_2$ ) hazırlamaktadır. Her bir sektörel analiz raporu 40 birim, her bir politika değerlendirme raporu ise 50 birim toplumsal fayda sağlamaktadır. Merkezin faaliyetlerine ilişkin kısıtlar şöyledir:

- Bir sektörel analiz raporu için 4 uzman-saat, bir politika değerlendirme raporu için 6 uzman-saat çalışma gerekmektedir. Toplam uzman-saat kapasitesi 120 saati aşmamalıdır.
- Stratejik hedef doğrultusunda, hazırlanan toplam rapor sayısı en az 15 olmalıdır.
- Ayrıca, hazırlanan sektörel analiz raporu sayısı ( $x_1$ ), politika değerlendirme raporu sayısının ( $x_2$ ) en az yarısı kadar olmalıdır.

Buna göre, toplam toplumsal faydayı en büyüklemek (maksimize etmek) için kurulması gereken doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{k.t. } & 4x_1 + 6x_2 \leq 120 \\ & x_1 + x_2 \geq 15 \\ & 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{k.t. } & 4x_1 + 6x_2 \leq 120 \\ & x_1 + x_2 \geq 15 \\ & 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{k.t. } & 4x_1 + 6x_2 \geq 120 \\ & x_1 + x_2 \geq 15 \\ & 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{k.t. } & 4x_1 + 6x_2 \leq 120 \\ & x_1 + x_2 \leq 15 \\ & 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{k.t. } & 4x_1 + 6x_2 \leq 120 \\ & x_1 + x_2 \geq 15 \\ & x_1 - 2x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{k.t. } & 4x_1 + 6x_2 \leq 120 \\ & x_1 + x_2 \geq 15 \\ & 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Toplumsal faydayı maksimize eden, kısıt yönleri ve oran kısıtı doğru kurgulanmış olan Maks Z = 40x1 + 50x2; 4x1 + 6x2 <= 120; x1 + x2 >= 15; 2x1 - x2 >= 0; x1, x2 >= 0 modelidir.

Doğru model, amaç fonksiyonunun toplumsal fayda artışı için maksimizasyon olması gerektiğini, 120 saatlik uzman kapasitesinin aşılamayacağı için küçük eşit kısıtı içermesi gerektiğini, toplam 15 rapor hedefinin alt sınır olduğu için büyük eşit kısıtı içermesini ve oransal kısıtın cebirsel düzenlemesi olan 2x1 - x2 >= 0 formunu içermesini öngörür.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımla.

x_1

: Sektörel Analiz Raporu sayısı,

x_2

: Politika Değerlendirme Raporu sayısı.

Modelin temel birimlerini belirlemek için gereklidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

\text{Maks } Z = 40x_1 + 50x_2

.

Toplumsal fayda puanlarını maksimize etmek hedeflenmektedir.

3

Kaynak kısıtını (uzman-saat) yaz.

4x_1 + 6x_2 \leq 120

.

'Aşmamalıdır' ifadesi kapasite sınırını (en fazla) belirtir.

4

Hizmet/Üretim kısıtını (toplam rapor) yaz.

x_1 + x_2 \geq 15

.

'En az 15' ifadesi alt sınırı belirtir.

5

Oransal kısıtı (en az yarısı) düzenle.

x_1 \geq 0{}5x_2 \Rightarrow 2x_1 \geq x_2 \Rightarrow 2x_1 - x_2 \geq 0

.

Verbal oransal kısıtın standart doğrusal forma getirilmesi gerekir.

6

Negatif olmama kısıtlarını ekle.

x_1, x_2 \geq 0

.

Fiziksel üretim miktarları negatif olamaz.

Anahtar Kavram

Sözel bir optimizasyon probleminin matematiksel bir doğrusal programlama modeline dönüştürülmesi sürecinde kısıt yönlerinin (en az/en fazla) ve oran kısıtlarının doğru belirlenmesi.

Daha Fazla Pratik

Model kurma sorularından sonra Grafik Çözüm Yöntemi ile oluşturulan modelin optimal çözümünü bulma pratiği yapılması önerilir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 7Soru →

Bir Tarım İl Müdürlüğü, çiftçilere hibe edilmek üzere 'Buğday' ( $x_1$ ) ve 'Arpa' ( $x_2$ ) tohumları tedarik edecektir. Projenin parametreleri şu şekildedir:
- Her bir ton buğday ( $x_1$ ) 40 birim, her bir ton arpa ( $x_2$ ) ise 30 birim stratejik öncelik puanı sağlamaktadır.
- Bir ton buğdayın maliyeti 5.000 TL, bir ton arpanın maliyeti 3.000 TL'dir.
- Toplam bütçe en fazla 150.000 TL ile sınırlandırılmıştır.
- Depolama kapasitesi nedeniyle toplamda en çok 40 ton tohum alınabilmektedir.

Buna göre, toplam stratejik öncelik puanını en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \max Z &= 40x_1 + 30x_2 \\ \text{s.t. } & 5000x_1 + 3000x_2 \leq 150000 \\ & x_1 + x_2 \leq 40 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 40x_1 + 30x_2 \\ \text{s.t. } & 5000x_1 + 3000x_2 \leq 150000 \\ & x_1 + x_2 \leq 40 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 40x_1 + 30x_2 \\ \text{s.t. } & 5000x_1 + 3000x_2 \geq 150000 \\ & x_1 + x_2 \geq 40 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 30x_1 + 40x_2 \\ \text{s.t. } & 5000x_1 + 3000x_2 \leq 150000 \\ & x_1 + x_2 \leq 40 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 40x_1 + 30x_2 \\ \text{s.t. } & 3000x_1 + 5000x_2 \leq 150000 \\ & x_1 + x_2 \leq 40 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \max Z &= 40x_1 + 30x_2 \\ \text{s.t. } & 5000x_1 + 3000x_2 \leq 150000 \\ & x_1 + x_2 \leq 40 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maksimizasyon amaçlı, bütçe ve kapasite kısıtlarının küçük eşit (<=) sembolüyle gösterildiği model doğrudur.

Toplam stratejik öncelik puanı maksimize edilmek istendiği için amaç fonksiyonu 'max Z' şeklinde kurgulanmalıdır. Maliyetlerin toplamı bütçeyi (150.000) aşamayacağı ve toplam tonaj kapasiteyi (40) geçemeyeceği için her iki kısıt da küçük eşit (<=) yönünde olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerinin tanımlanması

x_1

: Buğday miktarı (ton),

x_2

: Arpa miktarı (ton)

Modelin temel bileşenlerini belirlemek için değişkenler netleştirilmelidir.

2

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

max Z = 40x_1 + 30x_2

Soruda stratejik öncelik puanının 'en üst düzeye çıkarılması' istendiği için maksimizasyon modeli kurulur.

3

Kısıt denklemlerinin yazılması

5000x_1 + 3000x_2 \leq 150000

(Bütçe) ve

x_1 + x_2 \leq 40

(Kapasite)

'En fazla' ve 'en çok' ifadeleri kaynağın üst sınırını belirttiği için küçük eşit (<=) eşitsizliği kullanılır.

4

Negatif olmama kısıtının eklenmesi

x_1, x_2 \geq 0

Tedarik edilecek miktarlar negatif olamayacağı için doğrusal programlama varsayımları gereği eklenmelidir.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlama modelinde 'en fazla/en çok' ifadeleri küçük eşit (<=) kısıtı, 'en az' ifadeleri büyük eşit (>=) kısıtı ile temsil edilir.

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 8Soru →

Bir mesleki eğitim merkezinin atölyesinde "Sıra" ( $x_1$ ) ve "Sandalye" ( $x_2$ ) üretilmektedir. Bir sıranın satışından elde edilen kâr $200$ TL, bir sandalyenin satışından elde edilen kâr ise $120$ TL'dir. Üretim sürecindeki kısıtlar şöyledir:

- Her bir sıra için $5$ birim tahta ve $3$ saat işçilik gereklidir.
- Her bir sandalye için $2$ birim tahta ve $4$ saat işçilik gereklidir.
- Atölyenin elinde toplam $100$ birim tahta ve $80$ saat işçilik kapasitesi bulunmaktadır.

Buna göre, toplam kârı enbüyüklemek (maksimize etmek) amacıyla kurulması gereken doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \max Z &= 200x_1 + 120x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 5x_1 + 2x_2 &\leq 100 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 200x_1 + 120x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 5x_1 + 2x_2 &\leq 100 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 200x_1 + 120x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 5x_1 + 2x_2 &\geq 100 \\ 3x_1 + 4x_2 &\geq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 120x_1 + 200x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 5x_1 + 2x_2 &\leq 100 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 200x_1 + 120x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 5x_1 + 3x_2 &\leq 100 \\ 2x_1 + 4x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \max Z &= 200x_1 + 120x_2 \\ \text{kısıtlar:} & \\ 5x_1 + 2x_2 &\leq 100 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 80 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Kâr maksimizasyonunu hedefleyen, hammadde ve işçilik kapasitelerini aşmayan küçük-eşit kısıtlı ve değişkenlerin negatif olamayacağını belirten model doğrudur.

Doğru modelde kâr maksimizasyonu hedeflendiği için amaç fonksiyonu

\max Z

şeklindedir. Kısıtlar, eldeki sınırlı kaynakların (100 birim tahta ve 80 saat işçilik) aşılmamasını sağlamak adına

\leq

işareti ile kurulmuştur. Ayrıca üretim miktarlarının negatif olamayacağını belirten

x_1, x_2 \geq 0

kısıtı modele eklenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımla.

x_1

: Üretilecek sıra miktarı,

x_2

: Üretilecek sandalye miktarı.

Modelin temel bileşenlerini belirlemek gerekir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

\max Z = 200x_1 + 120x_2

Sıradan 200 TL, sandalyeden 120 TL kâr elde edildiği ve toplam kârın enbüyüklenmesi istendiği için.

3

Kısıt denklemlerini yaz.

Tahta için

5x_1 + 2x_2 \leq 100

; İşçilik için

3x_1 + 4x_2 \leq 80

.

Kullanılan toplam kaynağın eldeki kapasiteyi aşmaması gerekir.

4

Negatif olmama kısıtını ekle.

x_1, x_2 \geq 0

Üretim miktarları negatif değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

Soru 9Soru →

Bir yerel kalkınma kooperatifi, üyelerinden topladığı malzemelerle "Tarhana" ( $x_1$ ) ve "Erişte" ( $x_2$ ) üretmektedir. Bir kilogram tarhananın satışından elde edilen kâr $50$ TL, bir kilogram eriştenin satışından elde edilen kâr ise $40$ TL'dir. Üretim sürecine ilişkin teknik veriler ve kısıtlar aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kaynak / Kısıt	Tarhana ( $x_1$ )	Erişte ( $x_2$ )	Toplam Kapasite
Un (kg/kg)	$0,8$	$0,6$	En çok $240$ kg
İşgücü (saat/kg)	$2$	$1$	En çok $500$ saat

Kooperatif, sosyal sorumluluk projesi kapsamında toplam üretimin (tarhana ve erişte toplamı) en az $100$ kg olmasını hedeflemektedir. Kooperatifin toplam kârını enbüyüklemek amacıyla kurulan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{min } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\geq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\geq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 0,8x_1 + 0,6x_2 &\leq 240 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 100 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maksimum kârı hedefleyen, kaynak kısıtlarını küçük-eşit (<=) ve üretim alt sınırını büyük-eşit (>=) olarak tanımlayan model doğrudur.

Doğru modelde, kârın enbüyüklenmesi istendiği için amaç fonksiyonu 'maks Z' olarak kurulmuştur. Kaynaklar (un ve işgücü) birer üst sınır teşkil ettiği için kısıtlar küçük-eşit (

\leq

) yönündedir. Üretim hedefi olan 'en az 100 kg' şartı ise bir alt sınır olduğu için büyük-eşit (

\geq

) işaretiyle gösterilmiştir. Ayrıca tüm değişkenlerin negatif olamayacağı belirtilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu belirleme

Z = 50x_1 + 40x_2

Tarhana başına 50 TL, erişte başına 40 TL kâr elde edildiği için kâr maksimizasyonu bu denklemle ifade edilir.

2

Un kullanım kısıtını oluşturma

0,8x_1 + 0,6x_2 \leq 240

Mevcut un stoku 240 kg ile sınırlıdır (en çok), dolayısıyla toplam kullanım bu değeri aşamaz.

3

İşgücü kapasite kısıtını oluşturma

2x_1 + 1x_2 \leq 500

Toplam işgücü kapasitesi 500 saat olarak sınırlıdır, bu yüzden toplam çalışma süresi 500'e eşit veya küçük olmalıdır.

4

Üretim miktarı (sosyal sorumluluk) kısıtını oluşturma

x_1 + x_2 \geq 100

"En az 100 kg" ifadesi, toplam üretimin 100'den büyük veya eşit olması gerektiğini (alt sınır) belirtir.

5

İşaret kısıtlarını ekleme

x_1, x_2 \geq 0

Üretim miktarları fiziksel olarak negatif değerler alamaz.

Anahtar Kavram

Sözel bir optimizasyon probleminin amaç fonksiyonu, teknik kısıtlar ve işaret kısıtları çerçevesinde matematiksel modele dönüştürülmesi.

Soru 10Soru →

Bir halk kütüphanesinin restorasyon biriminde "Roman" ( $x_1$ ) ve "Tarih" ( $x_2$ ) türündeki eski kitaplar yeniden ciltlenmektedir. Kitapların ciltlenme süreci ve kullanılan malzemelere ilişkin bilgiler aşağıdaki tabloda sunulmuştur:

Kaynak	Roman ( $x_1$ )	Tarih ( $x_2$ )	Toplam Kapasite
Emek (saat/kitap)	$3$	$4$	$120$ saat
Malzeme (birim/kitap)	$2$	$1$	$60$ birim

Kütüphane yönetimi, mevcut kaynakları aşmadan ciltlenen toplam kitap sayısını en üst düzeye çıkarmayı amaçlamaktadır. Buna göre, bu problemin çözümünü veren doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\geq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\geq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } z &= 3x_1 + 4x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{Maks } z &= x_1 + x_2 \\ 3x_1 + 4x_2 &\leq 120 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 60 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Maksimum

z = x_1 + x_2

amaç fonksiyonu ile birlikte, her iki kaynağın kapasitesini küçük eşit (

\\leq

) kısıtlarıyla ve non-negatiflik şartıyla ifade eden model doğrudur.

Toplam kitap sayısını en büyüklemeyi hedefleyen modelde amaç fonksiyonu

x_1 + x_2

toplamının maksimizasyonu olmalıdır. Emek ve malzeme kaynakları birer üst sınıra (kapasiteye) sahip olduğu için kısıtlar 'küçük eşit' (

\leq

) sembolüyle gösterilmelidir. Ayrıca fiziksel bir büyüklük olan kitap sayısı negatif olamayacağı için işaret kısıtları modele dahil edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini belirle.

x_1

(Roman sayısı) ve

x_2

(Tarih kitabı sayısı).

Modelin temel bileşenlerini tanımlamak için gereklidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

Maks

z = x_1 + x_2

.

Problemde 'toplam kitap sayısının en üst düzeye çıkarılması' istendiği için katsayılar

1

olmalı ve yön 'Maks' olmalıdır.

3

Kısıt denklemlerini yaz.

3x_1 + 4x_2 \leq 120

(Emek) ve

2x_1 + x_2 \leq 60

(Malzeme).

Kaynaklar sınırlı olduğundan toplam kullanım kapasiteyi aşmamalıdır (

\\leq

).

4

İşaret kısıtlarını ekle.

x_1, x_2 \geq 0

.

Kitap sayısı negatif bir değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlama modelinde amaç fonksiyonu yönü (Maks/Min) ile kısıt yönlerinin (<=, >=, =) sözel ifadeden matematiksel forma doğru aktarılması.

Tahmini Süre:45s

Soru 11Soru →

Bir kamu fidanlığında "Çam" ( $x_1$ ) ve "Sedir" ( $x_2$ ) olmak üzere iki tür fidan yetiştirilmektedir. Bir adet çam fidanının satışından elde edilen kâr $10$ TL, bir adet sedir fidanının satışından elde edilen kâr ise $12$ TL'dir. Fidanların yetiştirilmesi için gerekli olan kaynaklar ve kapasiteler aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kaynak	Çam ( $x_1$ )	Sedir ( $x_2$ )	Kapasite
Alan ( $m^2$ )	$2$	$1$	$500$
İş Gücü (saat)	$1$	$1$	$300$

Buna göre, fidanlıktaki toplam kârı en üst düzeye çıkarmayı amaçlayan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\geq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 12x_1 + 10x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\geq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \max Z &= 10x_1 + 12x_2 \\ 2x_1 + x_2 &\leq 500 \\ x_1 + x_2 &\leq 300 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Kâr maksimizasyonunu hedefleyen, kaynak sınırlarını küçük-eşit (<=) işaretleriyle gösteren ve negatif olmama kısıtını içeren model doğru modeldir.

Kârın maksimize edilmesi hedeflendiği için amaç fonksiyonu

\max

yönünde kurulmuş, birim kârlar katsayı olarak atanmış ve sınırlı kaynaklar olan alan ve iş gücü kısıtları 'en fazla' ifadesine uygun olarak

\leq

işaretiyle modellenmiştir.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerinin belirlenmesi

x_1

= Yetiştirilen Çam fidanı sayısı,

x_2

= Yetiştirilen Sedir fidanı sayısı

Modelin temel bileşenlerini tanımlamak için değişkenler atanmalıdır.

2

Amaç fonksiyonunun oluşturulması

\max Z = 10x_1 + 12x_2

Toplam kârın en üst düzeye çıkarılması (maksimizasyon) hedeflenmektedir.

3

Kısıt denklemlerinin yazılması

Alan:

2x_1 + 1x_2 \leq 500

; İş Gücü:

1x_1 + 1x_2 \leq 300

Kaynaklar sınırlı (en fazla) olduğu için kısıtlar üst sınır belirtir.

4

Negatif olmama kısıtının eklenmesi

x_1, x_2 \geq 0

Üretim miktarları fiziksel olarak negatif değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

İpuçları

1

Problemin kâr maksimizasyonu mu yoksa maliyet minimizasyonu mu olduğunu belirleyin.

2

'En fazla' (üst sınır) ve 'en az' (alt sınır) ifadelerinin eşitsizlik yönlerini nasıl etkilediğine dikkat edin.

Daha Fazla Pratik

Benzer bir problemi maliyet minimizasyonu ve 'en az karşılanması gereken' kısıtlar üzerinden kurgulayarak pekiştirme yapabilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 12Soru →

Bir büyükşehir belediyesi, toplu taşıma filosu için "Standart" ( $x_1$ ) ve "Körüklü" ( $x_2$ ) olmak üzere iki tip yeni elektrikli otobüs alımı planlamaktadır. Bu otobüslerin günlük işletme maliyetleri standart tip için $1200$ TL, körüklü tip için ise $1800$ TL'dir.

Belediyenin günlük yolcu talebini karşılayabilmesi için bu yeni otobüslerin toplam taşıma kapasitesi en az $4500$ kişi olmalıdır. Bir standart otobüs $80$ kişi, bir körüklü otobüs ise $150$ kişi kapasitelidir. Otobüslerin park edileceği garajın kapasitesi sınırlı olduğundan, alınacak toplam otobüs sayısı $40$ 'ı aşmamalıdır. Ayrıca, dar sokaklarda manevra kabiliyetini korumak amacıyla, alınacak standart otobüs sayısı, körüklü otobüs sayısının en az iki katı olmalıdır.

Belediye, belirtilen tüm kısıtların karşılanmasını sağlarken günlük toplam işletme maliyetini en küçükleyen doğrusal programlama modelini kurmak istemektedir.

Buna göre, bu problemin matematiksel modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{array}{l} \max Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - 2x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \leq 4500 \\ x_1 + x_2 \geq 40 \\ x_1 - 2x_2 \leq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - 2x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ 2x_1 - x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}

\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - x_2 \geq 2 \end{array}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{array}{l} \min Z = 1200x_1 + 1800x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 80x_1 + 150x_2 \geq 4500 \\ x_1 + x_2 \leq 40 \\ x_1 - 2x_2 \geq 0 \\ x_1, x_2 \geq 0 \end{array}$

Cevap

Amaç fonksiyonunun maliyet minimizasyonu (min Z) olduğu, kapasitenin en az 4500 (büyük eşit), araç sayısının en fazla 40 (küçük eşit) olduğu ve standart otobüs sayısının körüklünün en az iki katı olması kısıtının

x_1 - 2x_2 \geq 0

olarak modellendiği, ayrıca negatif olmama koşullarını barındıran seçenektir.

İşletme maliyeti minimize edilmek istendiği için amaç fonksiyonu

\min Z = 1200x_1 + 1800x_2

olmalıdır. Toplam kapasitenin en az 4500 kişi olması gerektiği için

80x_1 + 150x_2 \geq 4500

eşitsizliği, toplam araç sayısının 40'ı aşmaması gerektiğinden

x_1 + x_2 \leq 40

eşitsizliği yazılır. Standart otobüs sayısının (

x_1

), körüklü otobüs sayısının (

x_2

) en az iki katı olması şartı

x_1 \geq 2x_2

yani

x_1 - 2x_2 \geq 0

şeklinde modellenir. Otobüs sayısı reel bir fiziksel nesne olduğundan ve eksi değer alamayacağından

x_1, x_2 \geq 0

negatif olmama kısıtları da modele mutlaka eklenmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu oluşturma.

Maliyet en küçüklenmek istendiği için

\min Z = 1200x_1 + 1800x_2

fonksiyonu yazılır.

Problemde günlük işletme maliyetini en küçükleyen model kurulması istenmektedir.

2

Fiziksel kapasite ve limit kısıtlarını yazma.

Kapasite için

80x_1 + 150x_2 \geq 4500

ve garaj limiti için

x_1 + x_2 \leq 40

kısıtları elde edilir.

Metindeki 'en az 4500 kişi' ifadesi

\geq

(büyük eşit), '40'ı aşmamalıdır' ifadesi ise

\leq

(küçük eşit) kullanılarak matematikselleştirilir.

3

Oran kısıtını ve varsayım kısıtlarını modelleme.

x_1 \geq 2x_2

ifadesinden

x_1 - 2x_2 \geq 0

kısıtı elde edilir ve nicelik ifade edildiğinden

x_1, x_2 \geq 0

şartı eklenir.

Standart otobüs sayısının körüklü otobüsün iki katı olması gerektiği sözel orantısı mantıksal bir denkleme dönüştürülür ve araç sayısı negatif olamaz.

Anahtar Kavram

Sözel İfadelerin Doğrusal Eşitsizliklere Çevrilmesi ve Model Kurulumu

Soru 13Soru →

Bir İl Tarım ve Orman Müdürlüğü, toprak yapısı bozulan tarım arazilerinin ıslahı için "Nitrat-Bazlı" ( $x_1$ ) ve "Fosfat-Bazlı" ( $x_2$ ) hammaddeleri karıştırarak özel bir gübre harmanı hazırlayacaktır. Bu işlem için belirlenen maliyet ve içerik koşulları şöyledir:

- Nitrat-bazlı hammaddenin ton maliyeti $300$ TL, fosfat-bazlı hammaddenin ton maliyeti ise $400$ TL'dir. Müdürlük, harmanlama işlemini en düşük maliyetle gerçekleştirmeyi hedeflemektedir.
- Hazırlanacak harman, hektar başına en az $80$ birim azot ve en az $90$ birim fosfor ihtiyacını karşılamalıdır.
- Bir ton nitrat-bazlı hammadde $4$ birim azot ve $3$ birim fosfor içerirken; bir ton fosfat-bazlı hammadde $2$ birim azot ve $5$ birim fosfor içermektedir.
- Taşıma ve uygulama kapasitesi kısıtları nedeniyle, hektar başına uygulanacak toplam gübre harmanı miktarı $25$ tonu aşmamalıdır.
- Çevresel düzenlemeler gereği, kullanılacak nitrat-bazlı hammadde miktarı, fosfat-bazlı hammadde miktarının $3$ katını aşmamalıdır.

Buna göre, bu problemin doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \max Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\leq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\leq 90 \\ x_1 + x_2 &\geq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ 3x_1 - x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\geq 0 \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \min Z &= 300x_1 + 400x_2 \\ \text{Kısıtlar:} \\ 4x_1 + 2x_2 &\geq 80 \\ 3x_1 + 5x_2 &\geq 90 \\ x_1 + x_2 &\leq 25 \\ x_1 - 3x_2 &\leq 0 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Modelin doğru formülasyonu maliyet minimizasyonunu (

\min Z

), doğru yönlü besin ve kapasite eşitsizliklerini,

x_1 - 3x_2 \leq 0

oran kısıtını ve pozitiflik kısıtlarını içeren seçenektir.

Doğru model; amaç fonksiyonunun

\min Z

olmasını, asgari ihtiyaçlar için

\geq

, azami sınırlar için

\leq

eşitsizliklerinin kullanılmasını ve

x_1 \leq 3x_2

(

x_1 - 3x_2 \leq 0

) oran kısıtı ile birlikte pozitiflik kısıtının eksiksiz olarak denkleme dökülmesini sağlamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Amaç fonksiyonunu belirle.

Amaç, gübre harmanının maliyetini en aza indirmek olduğundan fonksiyon

\min Z = 300x_1 + 400x_2

olarak yazılır.

Problem metninde açıkça 'en düşük maliyetle gerçekleştirmek' ifadesi geçmektedir.

2

Besin içerik kısıtlarını oluştur.

Azot için

4x_1 + 2x_2 \geq 80

ve fosfor için

3x_1 + 5x_2 \geq 90

eşitsizlikleri elde edilir.

Her iki besin maddesi için de karşılanması gereken 'en az' değerler verilmiştir, bu durum

\geq

(büyük eşit) sembolü gerektirir.

3

Kapasite (tonaj) kısıtını oluştur.

x_1 + x_2 \leq 25

eşitsizliği yazılır.

Hektar başına uygulanacak toplam miktarın 25 tonu 'aşmamalıdır' kısıtı bir üst sınır (

\leq

) belirtir.

4

Çevresel oran kısıtını ve varsayılan kısıtları modele ekle.

Oran kısıtı

x_1 \leq 3x_2

(veya

x_1 - 3x_2 \leq 0

) olarak modellenir ve sonuna

x_1, x_2 \geq 0

kısıtı eklenir.

Nitrat miktarının (

x_1

), fosfat miktarının (

x_2

) 3 katını aşmaması mantıksal olarak

x_1

'in

3x_2

'den küçük veya eşit olması anlamına gelir. Üretim miktarları negatif olamayacağından pozitiflik koşulu şarttır.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlama problemlerinde sözel ifadeleri (en az, en çok, katı, maliyet/kar) doğru matematiksel sembollerle modele dönüştürme

Soru 14Soru →

Bir devlet hastanesi, evde bakım hizmetleri kapsamında iki farklı sağlık paketi (Paket A ve Paket B) hazırlamaktadır. Paket A'nın ( $x_1$ ) birim başına toplumsal faydası $50$ birim, Paket B'nin ( $x_2$ ) ise $40$ birimdir. Paketlerin hazırlanması için gerekli kaynaklar ve kapasite kısıtları şu şekildedir:

* Bir adet Paket A için $2$ saat hemşire süresi ve $10$ birim tıbbi malzeme gereklidir.
* Bir adet Paket B için $1$ saat hemşire süresi ve $20$ birim tıbbi malzeme gereklidir.
* Toplam kullanılabilir hemşire süresi en çok $100$ saat, toplam tıbbi malzeme miktarı ise en fazla $500$ birimdir.

Hastanenin toplam toplumsal faydayı en üst düzeye çıkarmayı amaçladığı bu durum için kurulan doğrusal programlama modeli aşağıdakilerden hangisidir?

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 2x_1 + x_2 &\leq 100 \\ 10x_1 + 20x_2 &\leq 500 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Min } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 2x_1 + x_2 &\leq 100 \\ 10x_1 + 20x_2 &\leq 500 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 2x_1 + x_2 &\geq 100 \\ 10x_1 + 20x_2 &\geq 500 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 40x_1 + 50x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 2x_1 + x_2 &\leq 100 \\ 10x_1 + 20x_2 &\leq 500 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}

\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 2x_1 + x_2 &\leq 100 \\ 10x_1 + 20x_2 &\leq 500 \\ x_1, x_2 &\in \{0, 1\} \end{aligned}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\begin{aligned} \text{Maks } Z &= 50x_1 + 40x_2 \\ \text{kısıtlar:} \\ 2x_1 + x_2 &\leq 100 \\ 10x_1 + 20x_2 &\leq 500 \\ x_1, x_2 &\geq 0 \end{aligned}$

Cevap

Toplumsal faydayı maksimize eden, kısıtların üst sınırlarını (<=) doğru yansıtan ve değişkenlerin negatif olamayacağını (>= 0) belirten model doğru cevaptır.

Doğru modelde, amaç fonksiyonu Paket A (

50

) ve Paket B (

40

) birim faydalarını maksimize edecek şekilde kurulmuştur. Hemşire süresi (

2x_1 + x_2

) ve malzeme miktarı (

10x_1 + 20x_2

) toplam kapasiteyi aşamayacağı için küçük-eşit (

\leq

) işareti ile sınırlandırılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Karar değişkenlerini tanımla.

x_1

: Paket A sayısı,

x_2

: Paket B sayısı.

Modelin temel bileşenlerini belirlemek için değişkenler netleştirilmelidir.

2

Amaç fonksiyonunu oluştur.

\text{Maks } Z = 50x_1 + 40x_2

Problemde toplumsal faydanın 'en üst düzeye çıkarılması' istendiğinden maksimizasyon (Maks) modeli kurulur.

3

Kısıtlayıcı denklemleri yaz.

Hemşire süresi:

2x_1 + x_2 \leq 100

; Tıbbi malzeme:

10x_1 + 20x_2 \leq 500

.

Kaynaklar sınırlı olduğundan (en çok/en fazla), tüketilen toplam kaynak miktarı mevcut kapasiteden küçük veya eşit olmalıdır.

4

Negatif olmama kısıtını ekle.

x_1, x_2 \geq 0

.

Üretilen paket sayısı fiziksel olarak negatif bir değer alamaz.

Anahtar Kavram

Doğrusal programlama modeli; bir amaç fonksiyonu, kaynak kısıtları ve işaret kısıtlarından oluşan matematiksel bir yapıdır.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin işaret kısıtlarını (pozitiflik, tamsayılılık) ve kısıt yönlerini belirten anahtar kelimelere odaklanmak model kurma hatalarını azaltır.

Tahmini Süre:1m 30s

Doğrusal Programlama Modeli Kurma

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik