Examkin

Soru

Zorluk: ZorOrtak Beklenen Değer ve Momentler
Sürekli XX ve YY rastgele değişkenleri, aşağıdaki tanımlı bölge üzerinde bir olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:
f(x,y)={8xy,0<x<y<10,dig˘er durumlardaf(x,y) = \begin{cases} 8xy, & 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}
Buna göre, XX ve YY rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans, Cov(X,Y)Cov(X,Y) değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    00
  2. 4225\frac{4}{225}Cevap
  3. C
    275\frac{2}{75}
  4. D
    49\frac{4}{9}
  5. E
    −4225-\frac{4}{225}

Cevap

Kovaryans değeri 4225\frac{4}{225} olmalıdır.
Kovaryans, Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] genel formülü ile hesaplanır. Ortak yoğunluk fonksiyonu 0<x<y<10 < x < y < 1 üçgensel bölgesinde tanımlı olduğundan, çift katlı integrallerde iç integral xx üzerinden 00'dan yy'ye, dış integral ise yy üzerinden 00'dan 11'e alınmalıdır. Gerekli integraller hesaplandığında E[XY]=49E[XY] = \frac{4}{9}, E[X]=815E[X] = \frac{8}{15} ve E[Y]=45E[Y] = \frac{4}{5} bulunur. Bu değerler formülde yerine konulduğunda 49−(815⋅45)=100−96225=4225\frac{4}{9} - \left(\frac{8}{15} \cdot \frac{4}{5}\right) = \frac{100 - 96}{225} = \frac{4}{225} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Ortak beklenen değer olan E[XY]E[XY]'yi çift katlı integral kullanarak hesaplayın.
E[XY]=∫01∫0y(xy)(8xy) dx dy=∫018y2[x33]0y dy=83∫01y5 dy=83⋅16=49E[XY] = \int_0^1 \int_0^y (xy)(8xy) \,dx\,dy = \int_0^1 8y^2 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y \,dy = \frac{8}{3} \int_0^1 y^5 \,dy = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{6} = \frac{4}{9}
Kovaryans formülünün (Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]E[Y]Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]) temel bileşenlerinden birini bulmak için.
2
XX rastgele değişkeninin beklenen değeri olan E[X]E[X]'i hesaplayın.
E[X]=∫01∫0yx(8xy) dx dy=∫018y[x33]0y dy=83∫01y4 dy=83⋅15=815E[X] = \int_0^1 \int_0^y x(8xy) \,dx\,dy = \int_0^1 8y \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^y \,dy = \frac{8}{3} \int_0^1 y^4 \,dy = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{5} = \frac{8}{15}
Değişkenlerin bireysel beklenen değerlerinin çarpımını bulabilmek için.
3
YY rastgele değişkeninin beklenen değeri olan E[Y]E[Y]'yi hesaplayın.
E[Y]=∫01∫0yy(8xy) dx dy=∫018y2[x22]0y dy=4∫01y4 dy=4⋅15=45E[Y] = \int_0^1 \int_0^y y(8xy) \,dx\,dy = \int_0^1 8y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^y \,dy = 4 \int_0^1 y^4 \,dy = 4 \cdot \frac{1}{5} = \frac{4}{5}
Kovaryans formülündeki ikinci marjinal beklenti değerini elde etmek için.
4
Bulunan değerleri kovaryans formülünde yerine koyun.
Cov(X,Y)=49−(815⋅45)=49−3275=100−96225=4225Cov(X,Y) = \frac{4}{9} - \left(\frac{8}{15} \cdot \frac{4}{5}\right) = \frac{4}{9} - \frac{32}{75} = \frac{100 - 96}{225} = \frac{4}{225}
İki değişkenin birlikte ne kadar değiştiklerini gösteren nihai ölçüyü hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Sürekli iki değişkenli dağılımlarda ortak beklenen değer, marjinal beklentiler ve kovaryans hesabı

Alternatif Yöntem

E[X]E[X] ve E[Y]E[Y] değerleri, önce fY(y)=∫0y8xy dx=4y3f_Y(y) = \int_0^y 8xy \,dx = 4y^3 (0<y<10 < y < 1) ve fX(x)=∫x18xy dy=4x(1−x2)f_X(x) = \int_x^1 8xy \,dy = 4x(1-x^2) (0<x<10 < x < 1) marjinal yoğunluk fonksiyonları bulunarak tek katlı integraller üzerinden de hesaplanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Ortak Beklenen Değer ve Momentler