Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

İstatistik teorisinde rastgele değişkenlerin bağımsızlığı ile bu değişkenler arasındaki doğrusal ilişkiyi ölçen parametreler (kovaryans ve korelasyon) arasındaki ilişki göz önüne alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi her zaman doğrudur?

  1. XX ve YY rastgele değişkenleri bağımsız ise Cov(X,Y)=0Cov(X, Y) = 0 olur.Cevap
  2. B
    Cov(X,Y)=0Cov(X, Y) = 0 ise XX ve YY rastgele değişkenleri her zaman bağımsızdır.
  3. C
    Bağımsız iki değişkenin korelasyon katsayısı 11 veya −1-1 değerini alır.
  4. D
    XX ve YY bağımsız ise beklenen değerlerin çarpımı (E[X]⋅E[Y]E[X] \cdot E[Y]) her zaman sıfırdır.
  5. E
    Ayrık olaylar kümesi üzerinde tanımlanan tüm rastgele değişkenler bağımsızdır.

Cevap

İki rastgele değişken bağımsız ise kovaryansları her zaman sıfıra eşittir.
Rastgele değişkenler bağımsız olduğunda, bir değişkenin aldığı değer diğeri hakkında hiçbir bilgi vermez. Bu durum, aralarındaki doğrusal ilişkinin derecesini ölçen kovaryansın ve dolayısıyla korelasyon katsayısının matematiksel olarak sıfır çıkmasını zorunlu kılar.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık tanımının beklenen değer üzerindeki etkisini belirle.
E[XY]=E[X]⋅E[Y]E[XY] = E[X] \cdot E[Y]
XX ve YY bağımsız olduğunda ortak beklenen değer, marjinal beklenen değerlerin çarpımına eşit olur.
2
Kovaryans formülünü hatırla.
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X]⋅E[Y]Cov(X, Y) = E[XY] - E[X] \cdot E[Y]
Kovaryans, değişkenlerin ortak değişimini ölçen standart matematiksel ifadedir.
3
Bağımsızlık şartını kovaryans formülünde yerine koy.
Cov(X,Y)=(E[X]⋅E[Y])−(E[X]⋅E[Y])=0Cov(X, Y) = (E[X] \cdot E[Y]) - (E[X] \cdot E[Y]) = 0
E[XY]E[XY] yerine E[X]⋅E[Y]E[X] \cdot E[Y] yazıldığında terimler birbirini götürür ve sonuç sıfır olur.

Anahtar Kavram

Bağımsızlık her zaman sıfır kovaryansı gerektirir, ancak sıfır kovaryans her zaman bağımsızlığı gerektirmez.

Daha Fazla Pratik

Bağımsızlık ve kovaryans arasındaki farkı daha iyi anlamak için XX değişkeninin standart normal dağılıma sahip olduğu ve Y=X2Y = X^2 olduğu durumu inceleyebilirsiniz. Burada Cov(X,Y)=0Cov(X, Y) = 0 çıkmasına rağmen değişkenler tam bağımlıdır.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı