X ve Y bağımsız sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x, y… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ bağımsız sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $f(x, y) = 1$ ( $0 < x < 1, 0 < y < 1$ ) olarak verilmiştir. $U = 4X$ ve $V = 2Y$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$ Cevap
B
$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$
C
$h(u, v) = \frac{1}{8}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
D
$h(u, v) = 8, \quad 0 < u < 4, \quad 0 < v < 2$
E
$h(u, v) = \frac{1}{4}, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2$

Cevap

h(u, v) = \frac{1}{8}

değeri ile birlikte

0 < u < 4

0 < v < 2

sınırlarını belirten seçenek doğrudur.

Verilen doğrusal dönüşümde ters fonksiyonlar

x=u/4

y=v/2

şeklindedir. Kısmi türevlerden oluşan Jakobiyen determinantı

1/4 \times 1/2 = 1/8

olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri

1

olduğu için yeni PDF

1 \times 1/8 = 1/8

olur. Sınırlar ise

x

y

'nin

0-1

aralığından sırasıyla

0-4

0-2

aralığına genişler.

Adım Adım Çözüm

Ters dönüşüm denklemlerini belirle.

x = \frac{u}{4}

y = \frac{v}{2}

Orijinal PDF'teki değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek gerekir.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesapla.

J = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1/4 & 0 \\ 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \frac{1}{8}

Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için bu çarpan gereklidir.

Yeni sınırları (destek bölgesini) hesapla.

0 < \frac{u}{4} < 1 \Rightarrow 0 < u < 4

0 < \frac{v}{2} < 1 \Rightarrow 0 < v < 2

Dönüşüm sonrasında değişkenlerin hangi aralıkta tanımlı olduğu belirlenmelidir.

Dönüşüm formülünü uygulayarak ortak PDF'i yaz.

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8}

h(u, v) = f(g_1^{-1}(u,v), g_2^{-1}(u,v)) \cdot |J|

kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

İki değişkenli bir dönüşümde yeni ortak yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun Jakobiyen determinantının mutlak değeri ile çarpılmasıyla elde edilir.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin toplamı gibi daha karmaşık bir dönüşüm (

U=X+Y

) için sınırların nasıl değiştiğini inceleyebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular