Examkin

Soru

Zorluk: ZorEşit Büyüklüklü Kümelerde Ortalama ve Toplam Tahmini

Bir il milli eğitim müdürlüğüne bağlı toplam N=100N=100 adet sınav merkezi bulunmaktadır. Her bir merkezde eşit sayıda ve M=40M=40 adet sınav salonu yer almaktadır. Tüm merkezlerdeki kusurlu (bakım gerektiren) salon sayısının tahmin edilmesi istenmektedir. Bu amaçla, kümelerden (merkezlerden) basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=5n=5 adet merkez seçilmiş ve bu merkezlerdeki kusurlu salon sayıları (yiy_i) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Seçilen Merkez (ii)Kusurlu Salon Sayısı (yiy_i)
14
22
35
43
56

Buna göre, tüm merkezlerdeki toplam kusurlu salon sayısı tahmini (Y^\hat{Y}) ve bu tahminin varyansı (V^(Y^)\hat{V}(\hat{Y})) aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. A
    Y^=400\hat{Y} = 400 ve V^(Y^)=5.000\hat{V}(\hat{Y}) = 5.000
  2. B
    Y^=16.000\hat{Y} = 16.000 ve V^(Y^)=7.600.000\hat{V}(\hat{Y}) = 7.600.000
  3. Y^=400\hat{Y} = 400 ve V^(Y^)=4.750\hat{V}(\hat{Y}) = 4.750Cevap
  4. D
    Y^=400\hat{Y} = 400 ve V^(Y^)=47,5\hat{V}(\hat{Y}) = 47,5
  5. E
    Y^=400\hat{Y} = 400 ve V^(Y^)=0,475\hat{V}(\hat{Y}) = 0,475

Cevap

Doğru tahmin değeri Y^=400\hat{Y} = 400 ve bu tahminin varyansı V^(Y^)=4.750\hat{V}(\hat{Y}) = 4.750 olarak hesaplanır.
Soruda istenilen kitle toplamı tahmini, küme toplamları ortalamasının kitledeki küme sayısıyla çarpılmasıyla Y^=100⋅4=400\hat{Y} = 100 \cdot 4 = 400 olarak bulunur. Bu tahminin varyansı ise ortalamanın varyansı hesaplanıp N2N^2 (10.000) ile çarpılmasıyla elde edilir. Örneklem varyansı sc2=2,5s_c^2 = 2,5 ve SKD çarpanı (1−0,05)=0,95(1 - 0,05) = 0,95 dikkate alındığında, V^(Y^)=10.000⋅0,95⋅(2,5/5)=4.750\hat{V}(\hat{Y}) = 10.000 \cdot 0,95 \cdot (2,5 / 5) = 4.750 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklemdeki küme ortalamasını (yˉc\bar{y}_c) hesaplayınız.
yˉc=4+2+5+3+65=205=4\bar{y}_c = \frac{4 + 2 + 5 + 3 + 6}{5} = \frac{20}{5} = 4
Kitle toplamını tahmin edebilmek için öncelikle seçilen kümelerdeki değerlerin ortalamasına ihtiyaç vardır.
2
Kitle toplamı tahminini (Y^\hat{Y}) hesaplayınız.
Y^=N⋅yˉc=100⋅4=400\hat{Y} = N \cdot \bar{y}_c = 100 \cdot 4 = 400
Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde toplam tahmini, kitledeki toplam küme sayısının (NN) örneklem küme ortalamasıyla çarpılmasıyla elde edilir.
3
Örneklemdeki küme değerlerinin varyansını (sc2s_c^2) hesaplayınız.
sc2=(4−4)2+(2−4)2+(5−4)2+(3−4)2+(6−4)25−1=0+4+1+1+44=104=2,5s_c^2 = \frac{(4-4)^2 + (2-4)^2 + (5-4)^2 + (3-4)^2 + (6-4)^2}{5-1} = \frac{0 + 4 + 1 + 1 + 4}{4} = \frac{10}{4} = 2,5
Tahminin varyansını bulabilmek için küme değerlerinin kendi içindeki varyansına (örneklem varyansı) ihtiyacımız vardır.
4
Örnekleme kesrini (ff) ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) hesaplayınız.
f=nN=5100=0,05f = \frac{n}{N} = \frac{5}{100} = 0,05 ve SKD =1−f=1−0,05=0,95= 1 - f = 1 - 0,05 = 0,95
Örneklem kitleye kıyasla önemli bir oranda olduğu için (iadesiz seçim) varyans formülünde (1−f)(1-f) ile düzeltme yapılmalıdır.
5
Toplam tahminin varyansını (V^(Y^)\hat{V}(\hat{Y})) hesaplayınız.
V^(Y^)=N2⋅(1−f)⋅sc2n=1002⋅0,95⋅2,55=10.000⋅0,95⋅0,5=4.750\hat{V}(\hat{Y}) = N^2 \cdot (1 - f) \cdot \frac{s_c^2}{n} = 100^2 \cdot 0,95 \cdot \frac{2,5}{5} = 10.000 \cdot 0,95 \cdot 0,5 = 4.750
Kitle toplamının varyansı, ortalama tahmininin varyansının kitledeki küme sayısının karesi (N2N^2) ile genişletilmiş halidir.

Anahtar Kavram

Eşit büyüklüklü küme örneklemesinde toplam tahmini ve varyansının hesaplanması
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Eşit Büyüklüklü Kümelerde Ortalama ve Toplam Tahmini

Bu konudan daha fazla soru