Examkin

Soru

Zorluk: ZorEKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bir kamu araştırmacısı, Türkiye'deki 28 ilin istihdam oranını (YY), sanayi yatırım endeksi (X1X_1) ve eğitim endeksi (X2X_2) olmak üzere iki bağımsız değişken kullanarak çoklu doğrusal regresyon modeli ile analiz etmektedir. Araştırmacı, Y=Xβ+ϵY = X\beta + \epsilon matris modelini kurmuş ve analiz sonucunda aşağıdaki özet matrisleri ile Hata Kareler Toplamını (HKT) elde etmiştir:

(X′X)−1=[0.5−0.10.2−0.10.4−0.30.2−0.30.6] (X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.1 & 0.2 \\ -0.1 & 0.4 & -0.3 \\ 0.2 & -0.3 & 0.6 \end{bmatrix}
X′Y=[1005040] X'Y = \begin{bmatrix} 100 \\ 50 \\ 40 \end{bmatrix}
HKT=100 \text{HKT} = 100

(Not: XX matrisinin ilk sütunu 1'lerden oluşmaktadır ve β=[β0,β1,β2]′\beta = [\beta_0, \beta_1, \beta_2]' parametre vektörünü temsil etmektedir.)

Buna göre, En Küçük Kareler (EKK) matris çözümleri ve tahmincilerin özellikleri dikkate alındığında aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Parametre tahmin vektörü β^=(X′X)−1(X′Y)\hat{\beta} = (X'X)^{-1}(X'Y) formülü ile elde edilerek β^1\hat{\beta}_1 katsayısı −2-2 bulunur ve hata varyansı tahmincisi serbestlik derecesi dikkate alınarak 44 olarak hesaplanır.Cevap
  2. B
    Parametre tahmin vektörü β^\hat{\beta}, boyut uyumu gereği (X′Y)(X′X)−1(X'Y)(X'X)^{-1} sırasıyla çarpılarak hesaplanır ve bu yöntemle β^0\hat{\beta}_0 sabit terimi 5353 olarak bulunur.
  3. C
    Standart hata hesaplamalarına temel oluşturan hata varyansı tahmincisi, tüm gözlemlerin katkısını yansıtması için 100/28100/28 işlemiyle yaklaşık 3.573.57 olarak elde edilir.
  4. D
    Gauss-Markov teoremine göre, matris işlemiyle elde edilen β^2=29\hat{\beta}_2 = 29 katsayısı sapmasız bir tahminci olduğu için zorunlu olarak en küçük varyansa da sahiptir.
  5. E
    Hesaplanan β^1=−2\hat{\beta}_1 = -2 katsayısı, modeldeki eğitim endeksi (X2X_2) değişkeni analize hiç dahil edilmeseydi X1X_1'in YY üzerindeki net etkisinin ne olacağını ifade eder.

Cevap

β^\hat{\beta} katsayı vektörünün (X′X)−1(X′Y)(X'X)^{-1}(X'Y) çarpımıyla hesaplandığını ve hata varyansının HKTn−k−1\frac{HKT}{n-k-1} formülüyle 44 çıktığını belirten ifade doğrudur.
Çoklu regresyonda tahmin vektörü β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y denklemi ile bulunur. Orta satır hesaplandığında β^1=−2\hat{\beta}_1 = -2 elde edilir. Ayrıca hata varyansı (σ^2\hat{\sigma}^2), HKT'nin serbestlik derecesine (n−k−1n-k-1) bölünmesiyle bulunur. Burada n=28n=28 ve bağımsız değişken sayısı k=2k=2'dir; dolayısıyla serbestlik derecesi 2525'tir. 100/25=4100 / 25 = 4 hata varyansı tahmini doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
EKK katsayı vektörü β^\hat{\beta}'yı elde etmek için boyut kurallarına uygun olarak (X′X)−1(X'X)^{-1} ile (X′Y)(X'Y) matrislerini çarpınız.
β^=[0.5−0.10.2−0.10.4−0.30.2−0.30.6][1005040]\hat{\beta} = \begin{bmatrix} 0.5 & -0.1 & 0.2 \\ -0.1 & 0.4 & -0.3 \\ 0.2 & -0.3 & 0.6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 100 \\ 50 \\ 40 \end{bmatrix}
Regresyon katsayıları β^=(X′X)−1X′Y\hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'Y matris denklemi kullanılarak hesaplanır.
2
Çarpım matrisinden β^1\hat{\beta}_1 parametresine karşılık gelen ikinci satırın değerini hesaplayınız.
β^1=(−0.1×100)+(0.4×50)+(−0.3×40)=−10+20−12=−2\hat{\beta}_1 = (-0.1 \times 100) + (0.4 \times 50) + (-0.3 \times 40) = -10 + 20 - 12 = -2.
Modelde X1X_1 değişkeninin katsayısı β\beta vektörünün ikinci elemanıdır (β0,β1,β2\beta_0, \beta_1, \beta_2 sırasıyla).
3
Hata varyansı (σ^2\hat{\sigma}^2) tahmini için serbestlik derecesini hesaplayınız ve HKT'yi bu değere bölünüz.
Serbestlik derecesi =n−k−1=28−2−1=25= n - k - 1 = 28 - 2 - 1 = 25. σ^2=10025=4\hat{\sigma}^2 = \frac{100}{25} = 4.
Çoklu doğrusal regresyonda varyans tahmininin sapmasız olabilmesi için Hata Kareler Toplamı n−k−1n-k-1 (parametre sayısının çıkarıldığı gözlem sayısı) serbestlik derecesine bölünür.

Anahtar Kavram

EKK matris çözümleri, katsayı hesaplama sırası ve hata varyansı serbestlik derecesi
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmincileri ve Matris Çözümleri

Bu konudan daha fazla soru