Ekonometrik bir analizde, bir istatistikçi elindeki veri seti için sabit terim içermeyen (… — KPSS İstatistik

Ekonometrik bir analizde, bir istatistikçi elindeki veri seti için sabit terim içermeyen (orijinden geçen) $Y_i = \beta_1 X_i + u_i$ modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir. Analiz sonucunda, standart belirtme katsayısı formülünü ( $R^2 = 1 - \frac{\sum e_i^2}{\sum (Y_i - \bar{Y})^2}$ ) kullanarak hesaplama yaptığında $R^2$ değerini $-0,12$ olarak bulmuştur.

Buna göre, hesaplanan bu negatif $R^2$ değerinin istatistiksel açıdan en doğru yorumu aşağıdakilerden hangisidir?

Modelin hata kareler toplamının, bağımlı değişkenin kendi örneklem ortalaması etrafındaki sapma kareler toplamından büyük olduğunu; yani tahmin edilen orijinden geçen doğrunun, veriyi sadece örneklem ortalaması ( $\bar{Y}$ ) ile tahmin eden naif bir modelden daha kötü bir uyum sağladığını gösterir.Cevap
B
Sabit terimli ve sabit terimsiz modellerin doğrudan karşılaştırılamayacağı kuralı gereği, standart $R^2$ 'nin hiçbir EKK modelinde negatif olamayacağını ve bu durumun yalnızca ham (raw) $R^2$ kullanılmamasından doğan geçersiz bir ölçüm olduğunu gösterir.
C
Negatif değerin, hata varyansı tahmin edilirken serbestlik derecesinin orijinden geçen modellere özgü olan $n-1$ yerine yanlışlıkla $n-2$ olarak alınmasından kaynaklanan sistematik bir hesaplama hatasını ifade ettiğini gösterir.
D
Belirtme katsayısının negatif olmasının, modelin genel anlamlılığını test eden F-testi değerini de negatife dönüştüreceğini, ancak parametrenin bireysel anlamlılığını ölçen t-testinin bundan etkilenmeyeceğini gösterir.
E
Orijinden geçen modeldeki EKK tahmin edicisinin, Gauss-Markov teoremi varsayımları altında sapmasızlık özelliğini koruduğunu ancak varyansın negatif bölgeye geçmesi nedeniyle minimum varyanslı (etkin) olma vasfını yitirdiğini gösterir.

Cevap

Negatif çıkan standart

R^2

değeri, modelin ürettiği hata kareler toplamının, bağımlı değişkenin kendi ortalaması etrafındaki sapma kareler toplamından (genel kareler toplamından) daha büyük olduğunu ve modelin, veriyi sadece

\bar{Y}

ile tahmin etmekten daha kötü bir performans sergilediğini gösterir.

Doğru yanıt, standart

R^2

formülünün matematiksel yapısının kavramsal yorumunu vermektedir. Formül

R^2 = 1 - (HKT/GKT)

'dir. Bu formülün negatif sonuç vermesi, yalnızca

HKT > GKT

olması durumunda mümkündür.

GKT

, bağımlı değişkenin kendi ortalamasından sapmalarının kareleri toplamıdır ve teknik olarak 'hiçbir değişken kullanmadan tahmini

\bar{Y}

kabul etsek yapılacak toplam hata' anlamı taşır.

HKT

'nin

GKT

'den büyük çıkması, kurduğumuz orijinden geçen tahmin modelinin, hiçbir analiz yapmadan sadece 'ortalama değeri' tahmin olarak sunmaktan bile daha kötü bir sonuç ürettiğinin kesin kanıtıdır.

Adım Adım Çözüm

Standart belirtme katsayısı (

R^2

) formülünü temel bileşenlerine ayırarak analiz et.

R^2 = 1 - \frac{HKT}{GKT}

formülünde,

HKT = \sum e_i^2

GKT = \sum (Y_i - \bar{Y})^2

şeklindedir.

Negatif bir sonucun matematiksel olarak hangi orana karşılık geldiğini görmek için formülün doğasını incelemek gerekir.

Negatif sonucun eşitsizlik durumunu oluştur.

1 - \frac{HKT}{GKT} < 0 \implies \frac{HKT}{GKT} > 1 \implies HKT > GKT

eşitsizliği elde edilir.

R^2

'nin -0,12 çıkması, kesir kısmının 1,12 olduğunu, yani payın paydadan mutlak suretle büyük olduğunu kanıtlar.

Elde edilen

HKT > GKT

sonucunun regresyon uyumu bağlamında kavramsal karşılığını yorumla.

GKT

, modelde hiçbir bağımsız değişken kullanılmayıp tüm

Y

değerlerinin sadece örneklem ortalaması (

\bar{Y}

) ile tahmin edildiği (

Y_i = \bar{Y}

) 'sadece sabit terimli' baz modelin hata kareler toplamıdır.

GKT

'nin kavramsal anlamının bilinmesi, karşılaştırmanın ne ile yapıldığının anlanmasını sağlar.

Orijinden geçen EKK modelinin durumu ile baz modeli karşılaştır.

Orijinden geçen modelin (

\hat{Y}_i = \hat{\beta}_1 X_i

) hatalarının kareleri toplamı (

HKT

), sadece ortalama ile yapılan tahminin hatalarından (

GKT

) daha büyüktür.

Orijinden geçen modellerde kalıntıların toplamı sıfır olmak zorunda olmadığından ve model

(\bar{X}, \bar{Y})

noktasından geçmediğinden

HKT > GKT

durumu mümkündür ve bu modelin son derece başarısız bir uyum gösterdiğini kanıtlar.

Anahtar Kavram

Orijinden Geçen Modellerde R² ve Uyum İyiliği

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru