Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDurumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları

Bir kamu kurumunun elektronik belge yönetim sistemi (EBYS) sunucusunun günlük çalışma durumu, 11 (Normal Yük) ve 22 (Yüksek Yük) olmak üzere iki durumlu bir kesikli zamanlı Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu sisteme ait bir adımlık geçiş olasılıkları matrisi (PP) aşağıda verilmiştir:

P=[08020505]P = \begin{bmatrix} 0{}8 & 0{}2 \\ 0{}5 & 0{}5 \end{bmatrix}

Bu Markov zincirinin indirgenemez (irreducible) ve aperiyodik olduğu bilinmektedir.

Buna göre, sistemin uzun dönemde (kararlı durumda) 22 numaralı 'Yüksek Yük' durumunda bulunma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    \(\frac{1}{5}\)
  2. \(\frac{2}{7}\)Cevap
  3. C
    \(\frac{2}{5}\)
  4. D
    \(\frac{1}{2}\)
  5. E
    \(\frac{5}{7}\)

Cevap

Sistemin uzun dönemde 'Yüksek Yük' durumunda bulunma olasılığı \(\frac{2}{7}\)'dir.
Kararlı durum olasılıkları, πP=π\pi P = \pi matris denklemi ve ∑πi=1\sum \pi_i = 1 normalizasyon koşulu birlikte çözülerek elde edilir. Verilen sistemde 22 numaralı durum için π2=02π1+05π2\pi_2 = 0{}2\pi_1 + 0{}5\pi_2 eşitliği yazılır. Buradan π1=25π2\pi_1 = 2{}5\pi_2 ilişkisi bulunur. Olasılıkların toplamının 11 olması gerektiğinden π1+π2=1\pi_1 + \pi_2 = 1 eşitliğinde yerine konulduğunda 35π2=13{}5\pi_2 = 1 sonucuna varılır. Bu da π2=27\pi_2 = \frac{2}{7} değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Kararlı durum (sınır) olasılıkları denklemini (πP=π\pi P = \pi) kurunuz.
[π1\pi_1, π2\pi_2] [08020505]\begin{bmatrix} 0{}8 & 0{}2 \\ 0{}5 & 0{}5 \end{bmatrix} = [π1\pi_1, π2\pi_2]
Sistem indirgenemez ve aperiyodik olduğundan, uzun dönem olasılıkları geçiş matrisi ile çarpıldığında değişmeden kalır.
2
22 numaralı durum (Yüksek Yük) için cebirsel denklemi yazınız.
π2=02π1+05π2\pi_2 = 0{}2\pi_1 + 0{}5\pi_2
Matris çarpımında ikinci sütun elemanları ile durum olasılıklarını çarparak π2\pi_2'yi buluruz.
3
Denklemi sadeleştirerek π1\pi_1 ve π2\pi_2 arasındaki oranı bulunuz.
π2−05π2=02π1  ⟹  05π2=02π1  ⟹  π1=25π2\pi_2 - 0{}5\pi_2 = 0{}2\pi_1 \implies 0{}5\pi_2 = 0{}2\pi_1 \implies \pi_1 = 2{}5\pi_2
İki bilinmeyenli sistemi tek bir bilinmeyen cinsinden ifade etmek için sadeleştirme gereklidir.
4
Normalizasyon kuralını (Tüm olasılıkların toplamı 1'dir) uygulayarak sonuca ulaşınız.
π1+π2=1  ⟹  25π2+π2=1  ⟹  35π2=1  ⟹  π2=135=27\pi_1 + \pi_2 = 1 \implies 2{}5\pi_2 + \pi_2 = 1 \implies 3{}5\pi_2 = 1 \implies \pi_2 = \frac{1}{3{}5} = \frac{2}{7}
Olasılık aksiyomları gereği, sistemin herhangi bir durumda bulunma olasılıklarının toplamı her zaman 1 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli Zamanlı Markov Zincirlerinde Kararlı Durum Olasılıklarının Hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Durumların Sınıflandırılması ve Sınır (Kararlı Durum) Olasılıkları