Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYenileme Teorisi

Büyük ölçekli bir veri merkezindeki sunucu soğutma fanları, arızalandıkları anda bekletilmeksizin yenileriyle değiştirilmekte ve bu ardışık değiştirme zamanları bir yenileme süreci (renewal process) oluşturmaktadır. Fanların çalışma ömürleri birbirinden bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenlerdir. Bir fanın çalışma ömrünün beklenen değeri μ=20\mu = 20 ay ve varyansı σ2=100 ay2\sigma^2 = 100 \text{ ay}^2'dir.

Buna göre, sistem çok uzun süredir faaliyette iken (t→∞t \to \infty), rastgele seçilen ileri bir tt anında sistemde çalışmakta olan fanın, sisteme takıldığı andan tamamen arızalanana kadar geçen toplam çalışma ömrünün beklenen değeri kaç aydır?

  1. A
    12,5
  2. B
    20
  3. 25Cevap
  4. D
    30
  5. E
    40

Cevap

Rastgele bir t anını içeren yenileme aralığının beklenen uzunluğu 25 aydır.
Denetleme paradoksuna (uzunluk-yanlı örnekleme) göre, çok uzun bir süre faaliyette olan sistemde rastgele bir tt anında denk gelinen yenileme aralığının (çalışmakta olan fanın toplam ömrünün) beklenen değeri popülasyon ortalamasından daha büyüktür. Asimptotik aralık uzunluğu E[L(t)]=E[X2]μE[L(t)] = \frac{E[X^2]}{\mu} formülü ile ifade edilir. Dağılımın ikinci momenti E[X2]=μ2+σ2=202+100=500E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2 = 20^2 + 100 = 500 olarak bulunur. Beklenen toplam ömür ise 50020=25\frac{500}{20} = 25 ay olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Çalışma ömrü dağılımının ikinci momentinin (E[X2]E[X^2]) varyans formülünden yola çıkılarak hesaplanması.
E[X2]=μ2+σ2=202+100=500E[X^2] = \mu^2 + \sigma^2 = 20^2 + 100 = 500
Yenileme teorisinde asimptotik beklenen değer (uzunluk-yanlı dağılım) hesaplamaları doğrudan dağılımın ikinci momentini gerektirir.
2
Çok ileri bir tt anını içeren yenileme aralığının beklenen uzunluğu için Denetleme Paradoksu (Inspection Paradox) denkleminin kurulması.
lim⁡t→∞E[L(t)]=E[X2]μ\lim_{t \to \infty} E[L(t)] = \frac{E[X^2]}{\mu}
Zaman ekseni üzerinde rastgele seçilen bir tt noktasının, uzun ömürlü bir fana denk gelme olasılığı daha yüksek olduğundan standart popülasyon ortalaması sapmaya uğrar.
3
Elde edilen değerlerin limit formülünde yerine konularak toplam çalışma ömrünün bulunması.
50020=25\frac{500}{20} = 25 ay.
Çalışmakta olan fanın sisteme takılmasından arızalanmasına kadar geçen asimptotik beklenen toplam ömrünü verir.

Anahtar Kavram

Denetleme Paradoksu (Inspection Paradox) ve Yenileme Aralığının Asimptotik Beklenen Değeri
Bu soruyu puanla

Konular

Yenileme Teorisi

Bu konudan daha fazla soru