Bir kamu politikası araştırmacısı, illerin yıllık eğitim harcamalarını (Y) modellemek için… — KPSS İstatistik

Bir kamu politikası araştırmacısı, illerin yıllık eğitim harcamalarını ( $Y$ ) modellemek için doğru spesifikasyona sahip, bağımsız değişkenleri öğrenci sayısı ( $X_1$ ) ve ilin ortalama gelir düzeyi ( $X_2$ ) olan bir çoklu doğrusal regresyon modeli kurmuştur. Daha sonra araştırmacı, modelin açıklama gücünü artırmak amacıyla, teorik olarak eğitim harcamaları üzerinde hiçbir etkisi olmayan ve anakütle parametresi sıfır olan ( $\beta_3 = 0$ ) 'ilin deniz seviyesinden yüksekliği' ( $X_3$ ) değişkenini de modele dahil ederek parametreleri En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle yeniden tahmin etmiştir.

Bu aşırı belirleme (gereksiz değişkenin modele alınması) durumunun, model istatistikleri ve En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicilerinin özellikleri üzerindeki etkisiyle ilgili aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A
Modele gereksiz bir değişken eklendiği için spesifikasyon hatası meydana gelir ve EKK tahmin edicileri sapmalı (biased) hale gelir.
B
Modeldeki açıklayıcı değişken sayısı arttığı için hem belirtme katsayısı ( $R^2$ ) hem de düzeltilmiş belirtme katsayısı ( $\bar{R}^2$ ) kesinlikle artış gösterir.
EKK tahmin edicileri sapmasızlık özelliğini korumaya devam eder, ancak serbestlik derecesindeki düşüş nedeniyle katsayıların varyansları genellikle artarak etkinlik özelliği kaybolur.Cevap
D
Modele yeni bir değişken eklendiğinde serbestlik derecesi ( $n-k$ ) artacağından, hata varyansının tahmini ( $\hat{\sigma}^2$ ) kesinlikle küçülür.
E
EKK tahmin edicilerinin sapmasız olması her durumda minimum varyansa sahip oldukları anlamına geldiğinden, tahmin ediciler hem sapmasız hem de etkin kalmaya devam eder.

Cevap

EKK tahmin edicileri sapmasızlık özelliğini korumaya devam eder, ancak serbestlik derecesindeki düşüş nedeniyle katsayıların varyansları genellikle artarak etkinlik özelliği kaybolur.

Doğru modele teorik olarak ilgisiz ve anakütle katsayısı sıfır olan gereksiz bir değişken dahil edildiğinde (aşırı belirleme), En Küçük Kareler (EKK) tahmin edicileri sapmasızlık (unbiasedness) ve tutarlılık özelliklerini korur. Ancak, tahmin edilecek parametre sayısı (

k

) arttığı için hata serbestlik derecesi (

n-k

) düşer. Serbestlik derecesindeki bu azalma ve eklenen değişkenin diğer bağımsız değişkenlerle yaratabileceği potansiyel doğrusal ilişki (çoklu bağlantı), katsayıların varyanslarının ve standart hatalarının gereksiz yere büyümesine neden olur. Sonuç olarak, tahmin ediciler sapmasız olsalar da minimum varyanslı olma (etkinlik) özelliklerini yitirirler.

Adım Adım Çözüm

Aşırı belirleme durumunun (gereksiz değişken eklenmesi) sapmasızlık üzerindeki etkisini değerlendir.

Gereksiz değişkenin anakütle katsayısı sıfır olduğu için modele eklenmesi EKK tahmin edicilerinin beklenen değerini değiştirmez, yani tahmin ediciler sapmasız (unbiased) kalır.

Modeldeki değişkenlerin beklenen değerleri hesaplandığında, fazla değişkenin etkisi sıfıra gittiği için asıl katsayıların beklenen değeri gerçek parametrelere eşit olmaya devam eder.

Aşırı belirlemenin serbestlik derecesi ve varyanslar üzerindeki etkisini analiz et.

Modele yeni bir değişken (parametre) eklenmesi serbestlik derecesini (

n-k

) azaltır. Aynı zamanda gereksiz değişken diğer bağımsız değişkenlerle düşük de olsa doğrusal bağlantı yaratabilir. Bu durum katsayı varyanslarını büyütür.

Varyans formülündeki payda küçüldüğü ve çoklu bağlantı ihtimali arttığı için tahmin edicilerin standart hataları büyür.

Sonucu EKK özellikleri (Gauss-Markov) açısından yorumla.

Tahmin ediciler sapmasız kalmasına rağmen varyansları büyüdüğü için en küçük varyans (etkinlik) özelliklerini kaybederler.

Etkinlik, sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip olmayı gerektirir.

Anahtar Kavram

Aşırı Belirleme (Overspecification) ve EKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri

Tahmini Süre:1m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular