Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir eğitim kurumunda ölçme ve değerlendirme uzmanı olarak görev yapan Ayşe, uygulanan bir standart testte öğrencilerin belirli bir soruyu doğru yanıtlama davranışlarını incelemektedir. Ayşe, mm adet farklı öğrencinin katıldığı her bir sınav salonundaki doğru cevap sayısını XX rastgele değişkeni ile modellemektedir. Her bir öğrencinin soruyu doğru cevaplama olasılığının aynı ve pp (0<p<10 < p < 1) olduğu, öğrencilerin birbirinden bağımsız cevap verdiği varsayılmaktadır. Bu durumda X∼Binom(m,p)X \sim \text{Binom}(m, p) dağılışına sahiptir ve olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x;p)=(mx)px(1−p)m−x,x=0,1,…,mf(x; p) = \binom{m}{x} p^x (1-p)^{m-x}, \quad x = 0, 1, \dots, m

Ayşe, farklı bölgelerden rastgele seçilen nn adet sınav salonundan veri toplayarak X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n şeklinde bir örneklem oluşturmuştur. Uzman, elde ettiği bu verileri kullanarak tek bir salondaki doğru cevap sayısının varyansını, yani τ(p)=mp(1−p)\tau(p) = m p (1-p) fonksiyonunu tahmin etmek istemektedir.

Buna göre, τ(p)\tau(p) parametresi için oluşturulacak herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı (CRLB) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    p(1−p)nm\frac{p(1-p)}{nm}
  2. B
    m2p(1−p)(1−2p)2n\frac{m^2 p(1-p)(1-2p)^2}{n}
  3. mp(1−p)(1−2p)2n\frac{m p(1-p)(1-2p)^2}{n}Cevap
  4. D
    mp(1−p)n\frac{m p(1-p)}{n}
  5. E
    mp(1−p)(1−2p)2m p(1-p)(1-2p)^2

Cevap

Doğru yansız tahmin edici sınırı mp(1−p)(1−2p)2n\frac{m p(1-p)(1-2p)^2}{n} formülü ile verilir.
Cramer-Rao alt sınırı, ilgilenilen bir τ(p)\tau(p) fonksiyonunun yansız tahmin edicisinin varyansının alabileceği en küçük değeri verir. Formülü [τ′(p)]2/In(p)[\tau'(p)]^2 / I_n(p) şeklindedir. İlk olarak Binom dağılımı için n çaplı örneklemin Fisher bilgi miktarı In(p)=nm/(p(1−p))I_n(p) = nm / (p(1-p)) bulunur. Tahmin edilmek istenen varyans fonksiyonu τ(p)=mp(1−p)\tau(p) = mp(1-p) olduğundan, p'ye göre türevi τ′(p)=m(1−2p)\tau'(p) = m(1-2p) elde edilir. Formülde yerine yazıldığında pay kısmına m2(1−2p)2m^2(1-2p)^2, payda kısmına nm/(p(1−p))nm / (p(1-p)) gelir ve ifade ters çevrilip çarpıldığında alt sınır mp(1−p)(1−2p)2/nmp(1-p)(1-2p)^2 / n olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun logaritmasını alıp p parametresine göre türevini hesaplamak.
∂∂pln⁡f(x;p)=xp−m−x1−p=x−mpp(1−p)\frac{\partial}{\partial p} \ln f(x; p) = \frac{x}{p} - \frac{m-x}{1-p} = \frac{x - mp}{p(1-p)}
Fisher bilgi miktarını bulmak için log-olabilirlik fonksiyonunun birinci türevine ihtiyaç vardır.
2
Tek bir gözlem ve n çaplı örneklem için Fisher bilgi miktarını elde etmek.
I1(p)=E[(X−mpp(1−p))2]=Var(X)p2(1−p)2=mp(1−p)p2(1−p)2=mp(1−p)  ⟹  In(p)=nmp(1−p)I_1(p) = E\left[\left(\frac{X-mp}{p(1-p)}\right)^2\right] = \frac{Var(X)}{p^2(1-p)^2} = \frac{mp(1-p)}{p^2(1-p)^2} = \frac{m}{p(1-p)} \implies I_n(p) = \frac{nm}{p(1-p)}
Cramer-Rao formülünün paydası tüm örneklem üzerinden elde edilen Fisher bilgi miktarından oluşur.
3
Tahmin edilecek τ(p)\tau(p) fonksiyonunun p parametresine göre türevini almak.
τ(p)=mp−mp2  ⟹  τ′(p)=m−2mp=m(1−2p)\tau(p) = mp - mp^2 \implies \tau'(p) = m - 2mp = m(1-2p)
Cramer-Rao formülünün payında tahmin edilmek istenen fonksiyonun türevinin karesi yer alır.
4
Cramer-Rao Alt Sınırı (CRLB) formülünü uygulamak ve sadeleştirmek.
CRLB=[τ′(p)]2In(p)=m2(1−2p)2nmp(1−p)=mp(1−p)(1−2p)2nCRLB = \frac{[\tau'(p)]^2}{I_n(p)} = \frac{m^2(1-2p)^2}{\frac{nm}{p(1-p)}} = \frac{mp(1-p)(1-2p)^2}{n}
İstenen yansız tahmin edicinin varyans alt sınırını nihai olarak elde etmektir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun tahmin edicisi için Cramer-Rao Alt Sınırı
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru