Examkin

Soru

Zorluk: KolayKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir belediyenin sosyal yardım merkezine günlük gelen ziyaretçi sayısının haftalık ortalamadan farkı XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

xx−1-10011
P(X=x)P(X=x)0,200,200,500,500,300,30

İstatistiksel bir analiz kapsamında Y=X2+2Y = X^2 + 2 şeklinde bir dönüşüm tanımlanmıştır. Buna göre YY rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50 ve P(Y=3)=0,50P(Y=3) = 0,50Cevap
  2. B
    P(Y=1)=0,20P(Y=1) = 0,20, P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50 ve P(Y=3)=0,30P(Y=3) = 0,30
  3. C
    P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50 ve P(Y=3)=0,30P(Y=3) = 0,30
  4. D
    P(Y=0)=0,50P(Y=0) = 0,50 ve P(Y=1)=0,50P(Y=1) = 0,50
  5. E
    P(Y=3)=0,20P(Y=3) = 0,20, P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50 ve P(Y=3)=0,30P(Y=3) = 0,30

Cevap

Rastgele değişkenin olasılık kütle fonksiyonu P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50 ve P(Y=3)=0,50P(Y=3) = 0,50 şeklindedir.
Doğru yanıt olan P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50 ve P(Y=3)=0,50P(Y=3) = 0,50 ifadesi, XX değişkeninin −1,0,1-1, 0, 1 değerlerinin Y=X2+2Y = X^2 + 2 kuralıyla 22 ve 33 değerlerine dönüşmesi ve çakışan değerlerin (X=−1X=-1 ve X=1X=1) olasılıklarının toplanmasıyla elde edilmiştir.

Adım Adım Çözüm

1
XX değişkeninin her bir değeri için Y=X2+2Y = X^2 + 2 fonksiyonu hesaplanarak YY değişkeninin destek kümesi bulunur.
x=−1⇒y=(−1)2+2=3x = -1 \Rightarrow y = (-1)^2 + 2 = 3
x=0⇒y=(0)2+2=2x = 0 \Rightarrow y = (0)^2 + 2 = 2
x=1⇒y=(1)2+2=3x = 1 \Rightarrow y = (1)^2 + 2 = 3
YY kümesi: {2,3}\{2, 3\}.
Dönüşüm sonrası yeni değişkenin hangi değerleri alabileceğini belirlemek için.
2
YY değişkeninin her bir değeri için ilgili XX olasılıkları toplanır.
P(Y=2)=P(X=0)=0,50P(Y=2) = P(X=0) = 0,50
P(Y=3)=P(X=−1)+P(X=1)=0,20+0,30=0,50P(Y=3) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50
Kesikli değişkenlerde dönüşüm sonrası aynı değere giden noktaların olasılıkları kütle fonksiyonunda toplanır.
3
Sonuçlar olasılık kütle fonksiyonu formatında yazılır.
P(Y=2)=0,50P(Y=2) = 0,50, P(Y=3)=0,50P(Y=3) = 0,50
Tanımlanan yeni rastgele değişkenin dağılımını ifade etmek için.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan (non-monotonic) dönüşümlerde olasılık kütle fonksiyonu, aynı çıktıya sahip giriş değerlerinin olasılıkları toplanarak elde edilir.

Alternatif Yöntem

Önce YY değişkeninin alabileceği değerler kümesi {y1,y2,...}\{y_1, y_2, ...\} belirlenir. Ardından her bir yiy_i için P(Y=yi)=∑x:g(x)=yiP(X=x)P(Y=y_i) = \sum_{x: g(x)=y_i} P(X=x) formülü uygulanarak sonuç teyit edilebilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler