Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorPivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bir araştırmacı, incelediği bir biyolojik sürecin reaksiyon başlama zamanlarını modellemektedir. Reaksiyon süreleri (XX), θ\theta bilinmeyen minimum başlama zamanı (lokasyon parametresi) olmak üzere, aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip kaydırılmış (shifted) üstel dağılıma uymaktadır:

f(x;θ)=e−(x−θ),x≥θf(x; \theta) = e^{-(x-\theta)}, \quad x \geq \theta

Araştırmacı, nn bağımsız gözlemden oluşan rastgele bir örneklem (X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n) seçmiştir. θ\theta parametresi için en duyarlı (en dar) güven aralığını elde etmek amacıyla, yeterli (sufficient) istatistiği temel alan bir eksen (pivot) fonksiyonu oluşturmak istemektedir.

En küçük sıra istatistiği X(1)=min⁡(X1,X2,…,Xn)X_{(1)} = \min(X_1, X_2, \ldots, X_n) ve örneklem ortalaması Xˉ\bar{X} olmak üzere, araştırmacının kullanması gereken en uygun eksen (pivot) fonksiyonu ve bu fonksiyonun tam (exact) dağılımı aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. 2n(X(1)−θ)∼χ(2)22n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2)}Cevap
  2. B
    2∑i=1n(Xi−θ)∼χ(2n)22\sum_{i=1}^{n} (X_{i} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2n)}
  3. C
    n(Xˉ−θ)S∼t(n−1)\frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S} \sim t_{(n-1)}
  4. D
    2n(X(1)−θ)∼χ(2n)22n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^{2}_{(2n)}
  5. E
    n(X(1)−θ)∼U¨stel(n)n(X_{(1)} - \theta) \sim \text{Üstel}(n)

Cevap

En uygun eksen fonksiyonu 2n(X(1)−θ)2n(X_{(1)} - \theta) olup, bu fonksiyon serbestlik derecesi 2 olan Ki-kare (χ(2)2\chi^{2}_{(2)}) dağılımına sahiptir.
Lokasyon parametresi θ\theta olan kaydırılmış üstel dağılımda, Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi gereği en küçük sıra istatistiği X(1)X_{(1)} yeterli (sufficient) istatistiktir. En dar ve optimal güven aralığı yeterli istatistik kullanılarak elde edilir. X(1)X_{(1)}'in dağılımı nn parametreli üstel dağılımdır: X(1)−θ∼U¨stel(n)X_{(1)} - \theta \sim \text{Üstel}(n). Üstel dağılım ile Ki-kare dağılımı arasındaki istatistiksel özellik gereği, U¨stel(λ)\text{Üstel}(\lambda) dağılımına sahip bir rastgele değişken 2λ2\lambda ile çarpıldığında serbestlik derecesi 2 olan Ki-kare dağılımına (2λW∼χ(2)22\lambda W \sim \chi^2_{(2)}) dönüşür. Burada λ=n\lambda=n ve değişken X(1)−θX_{(1)} - \theta olduğundan elde edilecek eksen fonksiyonu 2n(X(1)−θ)2n(X_{(1)} - \theta) olur ve χ(2)2\chi^2_{(2)} dağılımına uyar. Bu fonksiyonun dağılımı bilinmeyen θ\theta parametresinden bağımsız olduğu için geçerli ve yeterli istatistiği kullandığı için en uygun fonksiyondur.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik fonksiyonu üzerinden yeterli (sufficient) istatistiği belirlemek
L(θ)=e−∑Xi+nθI(X(1)≥θ)L(\theta) = e^{-\sum X_i + n\theta} I(X_{(1)} \geq \theta) formülü elde edilir ve Neyman Çarpanlara Ayırma Teoremi ile X(1)X_{(1)} istatistiğinin θ\theta için yeterli istatistik olduğu bulunur.
Soruda hedeflenen en duyarlı (en dar) güven aralığı, verideki bilgiyi eksiksiz taşıyan yeterli istatistiğe dayalı eksen fonksiyonu kullanılarak inşa edilebilir.
2
En küçük sıra istatistiğinin (X(1)X_{(1)}) örneklem dağılımını türetmek
FX(1)(x)=1−e−n(x−θ)F_{X_{(1)}}(x) = 1 - e^{-n(x-\theta)} kümülatif fonksiyonundan yola çıkılarak X(1)−θ∼U¨stel(n)X_{(1)} - \theta \sim \text{Üstel}(n) olduğu kanıtlanır.
Bir istatistiğin eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için, kendi formülünün bilinmeyen parametreyi içermesi ancak dağılımının parametreden (θ\theta) tamamen bağımsız olması şarttır.
3
Üstel dağılımı, güven aralığı tablolarında kullanılabilecek standart bir Ki-kare dağılımına dönüştürmek
W∼U¨stel(λ)W \sim \text{Üstel}(\lambda) ise 2λW∼χ(2)22\lambda W \sim \chi^2_{(2)} kuralı uygulanır. λ=n\lambda=n ve W=(X(1)−θ)W=(X_{(1)} - \theta) alınarak 2n(X(1)−θ)∼χ(2)22n(X_{(1)} - \theta) \sim \chi^2_{(2)} dönüşümü yapılır.
Standart istatistik tabloları (Z, t, Ki-kare) aracılığıyla güven sınırlarının hesaplanabilmesi amacıyla pratik bir istatistiksel dönüşüm sağlamak.

Anahtar Kavram

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Pivot (Eksen) Fonksiyonu Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru