Examkin

Soru

Zorluk: ZorRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

Bir makine öğrenmesi algoritmasının eğitim sürecinde, iki farklı öznitelik (feature) değerinin standartlaştırılmış ölçümleri XX ve YY sürekli rastgele değişkenleri olarak tanımlanmıştır. Yapılan incelemelerde, bu iki değişkenin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun f(x,y)>0f(x,y) > 0 olduğu destek kümesinin (tanım bölgesinin) B={(x,y)∈R2:x2+y2≤4}\mathcal{B} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq 4\} şeklinde dairesel bir alan olduğu saptanmıştır. Ayrıca, algoritmanın hata metrikleri incelendiğinde bu iki değişken arasındaki kovaryans değerinin tam olarak sıfır (Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0) olduğu görülmüştür.

Bu durumdaki XX ve YY rastgele değişkenlerinin istatistiksel bağımsızlığı ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge xx ve yy eksenlerine paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmadığından, değişkenler kesinlikle bağımlıdır.Cevap
  2. B
    Kovaryans değeri sıfır olduğundan, aralarındaki her türlü ilişki ortadan kalkmış olup değişkenler birbirlerinden kesinlikle bağımsızdır.
  3. C
    Kovaryansın sıfır olması E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] eşitliğini doğrudan sağladığından, bu matematiksel özellik bağımsızlık için hem gerekli hem de yeterli koşuldur.
  4. D
    XX ve YY değişkenleri aynı dairesel uzayı paylaştıkları ve kesişimleri boş küme (ayrık) olmadığı için aralarında tam bağımsızlık vardır.
  5. E
    Bağımsızlık kararı verebilmek için, dairesel bölge üzerinden sırasıyla xx ve yy'ye göre alınan marjinal integrallerin toplamının 1'e eşit olup olmadığı kontrol edilmelidir.

Cevap

Ortak dağılımın tanımlı olduğu bölge x ve y eksenlerine paralel bir dikdörtgen (kartezyen çarpım) oluşturmadığından, değişkenler kesinlikle bağımlıdır.
İki sürekli rastgele değişkenin istatistiksel olarak bağımsız olabilmesi için zorunlu koşullardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu destek kümesinin (pozitif olduğu bölgenin) iki bağımsız aralığın kartezyen çarpımı (dikdörtgensel alan) olmasıdır. Sınırların birbiri cinsinden ifade edildiği dairesel bölge gibi durumlarda fonksiyon f(x,y)=fX(x)fY(y)f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) biçiminde faktörize edilemeyeceğinden, kovaryans sıfır bile olsa değişkenler zorunlu olarak bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Değişkenlerin ortak dağılımına ait destek kümesini (tanım bölgesini) analiz et.
Destek kümesinin x^2 + y^2 \leq 4 eşitsizliğiyle sınırlanan dairesel bir alan olduğu görülür.
Bağımsızlık incelemesinde ilk adım fonksiyonun tanımlı olduğu alanın şeklini kontrol etmektir.
2
Destek kümesinin şeklinin bağımsızlık için gerekli teorik şartları sağlayıp sağlamadığını değerlendir.
Dairesel bölge, x ve y sınırlarının birbirinden tamamen bağımsız olarak ifade edilebildiği bir kartezyen çarpım (dikdörtgen bölge) değildir. x'in alabileceği değer aralığı y'ye bağlıdır.
İki rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) eşitliği sağlanmalıdır. Bu ayrımın yapılabilmesi için tanım bölgesinin x ve y için sınırlarının birbirinden bağımsız olması gerekir.
3
Kovaryans bilgisini (Cov(X,Y) = 0) bu durum ışığında yorumla.
Kovaryansın sıfır olması sadece aralarında doğrusal bir korelasyon olmadığını gösterir, bağımsız olduklarını kanıtlamaz.
Bağımsız değişkenlerin kovaryansı daima sıfırdır ancak kovaryansın sıfır olması bağımsızlık garantisi vermez. Bölge yapısından dolayı değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Anahtar Kavram

Bağımsız sürekli rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun destek kümesinin dikdörtgensel bir bölge (kartezyen çarpım) olması gerekliliği ve sıfır kovaryansın bağımsızlık için yeterli bir şart olmaması.
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı