Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKitle Ortalamasının Tahmini ve Varyansı

Bir tarımsal araştırma enstitüsü, bir bölgedeki N=200N=200 seradan iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=50n=50 sera seçmiş ve bu seraların yıllık domates üretim miktarlarını (ton) ölçmüştür. Elde edilen veriler için aşağıdaki özet istatistikler hesaplanmıştır:

∑i=150xi=1000\sum_{i=1}^{50} x_i = 1000
∑i=150xi2=24900\sum_{i=1}^{50} x_i^2 = 24900

Araştırmacı, kitle ortalamasının standart hatasını hesaplarken sonlu kitle düzeltme çarpanını (SKD) dikkate almayı unutmuş ve kitle hacminin çok büyük olduğunu varsayarak işlem yapmıştır.

Buna göre, araştırmacının bulduğu hatalı standart hata değeri ile kitle ortalamasının gerçek standart hata değeri aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

  1. 2\sqrt{2} ve 1,5\sqrt{1,5}Cevap
  2. B
    1,96\sqrt{1,96} ve 1,47\sqrt{1,47}
  3. C
    22 ve 1,51,5
  4. D
    2\sqrt{2} ve 0,5\sqrt{0,5}
  5. E
    1010 ve 75\sqrt{75}

Cevap

Araştırmacının bulduğu hatalı değer 2\sqrt{2}, kitle ortalamasının gerçek standart hatası ise 1,5\sqrt{1,5} değeridir.
Verilen ham toplam değerleri kullanılarak yansız örneklem varyansı s2=100s^2 = 100 bulunur. SKD göz ardı edildiğinde ortalamanın varyansı s2/n=100/50=2s^2/n = 100/50 = 2, standart hata ise 2\sqrt{2} olur. Gerçek durumda ise n/N=50/200=0,25n/N = 50/200 = 0,25 olduğundan SKD=(1−0,25)=0,75(1-0,25)=0,75 uygulanmalı ve standart hata 2×0,75=1,5\sqrt{2 \times 0,75} = \sqrt{1,5} olarak hesaplanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamasının (xˉ\bar{x}) hesaplanması.
xˉ=∑xin=100050=20\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{1000}{50} = 20 ton.
Örneklem varyans formülünde kullanılmak üzere örneklem ortalamasına ihtiyaç duyulur.
2
Yansız örneklem varyansının (s2s^2) hesaplanması.
s2=∑xi2−nxˉ2n−1=24900−50(20)249=24900−2000049=490049=100s^2 = \frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1} = \frac{24900 - 50(20)^2}{49} = \frac{24900 - 20000}{49} = \frac{4900}{49} = 100.
Ortalamanın standart hatasını bulabilmek için kitle varyansı bilinmediğinden, yansız örneklem varyansı kullanılmalıdır.
3
Araştırmacının bulduğu hatalı standart hatanın hesaplanması.
SEhatal\i=s2n=10050=2SE_{hatal\i} = \sqrt{\frac{s^2}{n}} = \sqrt{\frac{100}{50}} = \sqrt{2}.
Araştırmacı SKD'yi ihmal ettiği için doğrudan sonsuz kitle varsayımıyla işlem yapmıştır.
4
Gerçek standart hatanın hesaplanması (SKD ile).
Örneklem kesri f=nN=50200=0,25>0,05f = \frac{n}{N} = \frac{50}{200} = 0,25 > 0,05 olduğundan SKD kullanılmalıdır. SEgerc¸ek=s2n×(1−f)=2×(1−0,25)=2×0,75=1,5SE_{ger\c{c}ek} = \sqrt{\frac{s^2}{n} \times (1 - f)} = \sqrt{2 \times (1 - 0,25)} = \sqrt{2 \times 0,75} = \sqrt{1,5}.
İadesiz seçimde ve örneklemin kitleye oranının %5'ten büyük olduğu durumlarda kitle ortalamasının standart hatası hesaplanırken SKD çarpanı zorunludur.

Anahtar Kavram

İadesiz Basit Rastgele Örneklemede Kitle Ortalamasının Standart Hatası ve Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD)

Alternatif Yöntem

Hesaplamaları daha hızlı yapmak için SKD'siz standart hata hesaplandıktan sonra, gerçek standart hata SEgerc¸ek=SEhatal\i×1−fSE_{ger\c{c}ek} = SE_{hatal\i} \times \sqrt{1-f} bağıntısı ile bulunabilir; yani 2×0,75=1,5\sqrt{2} \times \sqrt{0,75} = \sqrt{1,5}.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Ortalamasının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru