Bir araştırmacı, n=34 gözlemden oluşan bir veri seti kullanarak bağımlı değişken Y ile bağ… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, $n=34$ gözlemden oluşan bir veri seti kullanarak bağımlı değişken $Y$ ile bağımsız değişken $X$ arasındaki ilişkiyi incelemek için sırasıyla ikinci dereceden (kuadratik) ve üçüncü dereceden (kübik) polinom regresyon modellerini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Kuadratik Model: $Y_i = \alpha_0 + \alpha_1 X_i + \alpha_2 X_i^2 + v_i$
(Bu model için belirtme katsayısı $R^2 = 0,742$ olarak hesaplanmıştır.)

Kübik Model: $Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 X_i^2 + \beta_3 X_i^3 + u_i$
(Bu model için belirtme katsayısı $R^2 = 0,750$ olarak hesaplanmıştır.)

Araştırmacı kübik modeli incelediğinde, modele eklenen $X$ , $X^2$ ve $X^3$ bağımsız değişkenlerine ait Varyans Büyütme Faktörü (VIF) değerlerinin 80'in üzerinde olduğunu (şiddetli çoklu doğrusal bağlantı problemi) tespit etmiştir.

Bu araştırma sonuçlarına göre model seçimi, parametre testleri ve çoklu doğrusal bağlantının etkileri bağlamında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Kübik terime ait kısmi t-istatistiğinin mutlak değeri 1'den küçük olduğundan modele eklenmesi düzeltilmiş $R^2$ değerini düşürmüştür; ayrıca polinom formundan kaynaklanan yüksek çoklu doğrusal bağlantı EKK tahmincilerinin sapmasızlık özelliğini bozmaz.Cevap
B
Modeldeki yüksek çoklu doğrusal bağlantı EKK tahmincilerini sapmalı ve tutarsız hale getirdiğinden, $X^3$ terimi anlamlılık testlerine bakılmaksızın modelden derhal çıkarılmalıdır.
C
Kübik modele geçildiğinde belirtme katsayısı ( $R^2$ ) arttığı için düzeltilmiş $R^2$ değeri de kesinlikle artış göstermiştir ve bu durum $\beta_3$ parametresinin istatistiksel olarak anlamlı olduğunu kanıtlar.
D
Kübik modelin hata varyansı tahmini için serbestlik derecesi $n-3=31$ olarak kullanılmalı ve çoklu bağlantı nedeniyle kısmi t-testleri güvenilirliğini tamamen yitirmelidir.
E
İlave edilen $\beta_3$ katsayısının modeldeki marjinal açıklayıcılığı yalnızca t-testi ile ölçülebilir; F-testi genel anlamlılık için olduğundan iki modelin karşılaştırmasında kullanılamaz.

Cevap

Kübik modele geçişte eklenen katsayının t-değeri mutlak olarak 1'den küçük kaldığı için düzeltilmiş

R^2

azalmıştır; bununla beraber polinom modellerin doğasındaki şiddetli çoklu doğrusal bağlantı EKK tahmincilerini sapmalı yapmaz.

Kübik modelde

n=34

k=4

olduğundan hata serbestlik derecesi

34-4=30

'dur. Modele sonradan eklenen

\beta_3

katsayısının anlamlılığını ölçen kısmi F istatistiği

(0,750 - 0,742) / ((1 - 0,750) / 30) = 0,96

olarak hesaplanır. Tek bağımsız kısıtlamada

F = t^2

olduğundan

|t| = \sqrt{0,96} \approx 0,98

'dir. Ekonometride temel bir özellik olarak, modele eklenen bir değişkenin düzeltilmiş

R^2

'yi artırabilmesi için t istatistiğinin mutlak değerce 1'den büyük olması (

|t|>1

) gerekir. Burada

|t| < 1

olduğu için düzeltilmiş

R^2

kuadratik modele kıyasla azalmıştır. Ayrıca, polinom regresyon modellerinde doğal olarak ortaya çıkan yüksek çoklu doğrusal bağlantı (VIF > 80), kusursuz olmadığı müddetçe EKK tahmincilerinin sapmasızlık özelliğini kesinlikle bozmaz, sadece standart hataları şişirir.

Adım Adım Çözüm

Kübik modelin serbestlik derecesini ve tahmin edilen parametre sayısını belirleme.

Modelde

k = 4

parametre (sabit terim + 3 eğim katsayısı) vardır. Hata serbestlik derecesi

sd = n - k = 34 - 4 = 30

olarak bulunur.

Marjinal F testini kurgularken payda serbestlik derecesini doğru kullanabilmek için.

Kübik terimin (

X^3

) marjinal istatistiksel katkısını ölçmek için kısmi F istatistiğini hesaplama.

Formül:

F = \frac{(R^2_{yeni} - R^2_{eski}) / 1}{(1 - R^2_{yeni}) / sd}

. Değerleri yerine koyduğumuzda

F = \frac{(0,750 - 0,742) / 1}{(1 - 0,750) / 30} = \frac{0,008}{0,008333} = 0,96

elde edilir.

Yeni eklenen terimin (ya da kısıtlamanın) varyansı açıklamadaki anlamlılığını ölçmek için kısıtlanmış-kısıtlanmamış model belirtme katsayıları karşılaştırılır.

Hesaplanan F istatistiğinden t istatistiğine geçiş yapma ve düzeltilmiş

R^2

kuralını uygulama.

Tek bir parametre için

t^2 = F

olduğundan

|t| = \sqrt{0,96} \approx 0,98

'dir. Matematiksel olarak,

|t| < 1

ise modele eklenen değişkenin düzeltilmiş

R^2

değerini kesinlikle düşürdüğü sonucuna varılır.

Düzeltilmiş

R^2

'nin eklenen değişken ile artabilmesi için, değişkenin modele katkısının kaybedilen 1 serbestlik derecesinden daha büyük (

|t| > 1

) olması zorunludur.

VIF değerleri ile tespit edilen çoklu doğrusal bağlantının (multicollinearity) EKK (OLS) üzerindeki teorik etkisini değerlendirme.

VIF > 80 kusursuz olmayan yüksek çoklu bağlantı demektir. Gauss-Markov teoremine göre bu durum klasik varsayımları ihlal etmediği için EKK tahmincileri sapmasızlık (unbiasedness) ve tutarlılık özelliklerini korur.

Öğrencilerin en çok yaptığı hata olan "çoklu bağlantı sapmaya yol açar" yanılgısını elemek için.

Anahtar Kavram

Polinom regresyonunda serbestlik derecesi, Düzeltilmiş R² ile kısmi t-istatistiği ilişkisi ve çoklu doğrusal bağlantının EKK tahmincilerine etkisi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru