Bir araştırmacı, kapalı bir kaptaki ideal gaz moleküllerinin hızlarını modellemek için Max… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı, kapalı bir kaptaki ideal gaz moleküllerinin hızlarını modellemek için Maxwell-Boltzmann dağılımını kullanmaktadır. Moleküllerin hızlarını temsil eden $X_1, X_2, \ldots, X_n$ rastgele örneklemi, olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{x^2}{\theta^3} e^{-\frac{x^2}{2\theta^2}}, \quad x > 0

olan dağılımdan çekilmiştir. Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir ölçek parametresidir.

Araştırmacı, $\theta^2$ parametresi için bir güven aralığı oluşturmak amacıyla uygun bir eksen (pivot) fonksiyonu aramaktadır.

Buna göre, aşağıda verilen istatistiklerden ( $Q$ ) hangisi $\theta^2$ için uygun bir eksen fonksiyonudur ve tam dağılımı doğru verilmiştir?

$Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}$ Cevap
B
$Q = \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \text{Gamma}\left(\frac{3n}{2}, 2\theta^2\right)$
C
$Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{n}$
D
$Q = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{2n}$
E
$Q = \frac{\sqrt{n}(\bar{X} - \theta)}{S} \sim t_{n-1}$

Cevap

İstatistiğin

\theta^2

'ye bölünmüş kareler toplamı olduğu ve

\chi^2_{3n}

dağılımına uyduğu seçenektir.

Bir fonksiyonun eksen (pivot) fonksiyonu olabilmesi için dağılımının bilinmeyen parametreden arındırılmış olması gerekir. Maxwell-Boltzmann dağılımında

y = x^2/\theta^2

dönüşümü yapıldığında Jacobian ile birlikte

Y \sim \chi^2_3

elde edilir. Örneklem

n

bağımsız birimden oluştuğundan, bu değişkenlerin toplamı

\chi^2_{3n}

dağılımına sahip olur. İfade

\theta^2

'yi içermekte ve dağılımı ondan bağımsız olmaktadır, bu nedenle doğru eksen fonksiyonudur.

Adım Adım Çözüm

Eksen (pivot) fonksiyonunun tanımını hatırlamak.

Eksen fonksiyonu

Q(X, \theta)

, bilinmeyen parametreyi içermeli ancak sahip olduğu olasılık dağılımı bu parametreden tamamen bağımsız olmalıdır.

Seçenekleri analiz etmeden önce doğru stratejiyi kurgulamak.

Örneklemdeki her bir

X_i

için

Y = X^2/\theta^2

dönüşümünü uygulamak ve Jacobian bulmak.

y = x^2/\theta^2 \implies x = \theta \sqrt{y}

ve türevden

|dx/dy| = \frac{\theta}{2\sqrt{y}}

elde edilir.

Değişken dönüşümü tekniğiyle, parametreden arındırılmış yeni bir dağılım elde edip edemeyeceğimizi görmek.

Y

'nin olasılık yoğunluk fonksiyonunu

f_Y(y) = f_X(x) |dx/dy|

formülüyle hesaplamak.

f_Y(y) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \frac{\theta^2 y}{\theta^3} e^{-y/2} \frac{\theta}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} y^{1/2} e^{-y/2}

. Bu,

3

serbestlik dereceli Ki-kare (

\chi^2_3

) dağılımının ta kendisidir.

Her bir gözlemin dönüşüm sonrası hangi tam dağılıma uyduğunu kanıtlamak.

Tüm örneklemi kapsayan toplam istatistiğinin dağılımını belirlemek.

Bağımsız Ki-kare değişkenlerinin toplamı, serbestlik derecelerinin toplamına eşittir. Bu nedenle

\sum Y_i = \frac{1}{\theta^2} \sum_{i=1}^n X_i^2 \sim \chi^2_{3n}

olur.

Örneklemin tümüne dayanan nihai eksen fonksiyonunu türetmek.

Anahtar Kavram

Eksen (Pivot) Fonksiyonu Yöntemi ve Dönüşümler

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru