Examkin

Soru

Zorluk: ZorAşırı Belirleme: Gereksiz Değişkenin Modele Alınması

Bir ekonometrik çalışmada, bağımlı değişken YY ile açıklayıcı değişken X1X_1 arasındaki gerçek anakütle ilişkisi Yi=β0+β1X1i+uiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + u_i şeklindedir. Ancak araştırmacı, bağımlı değişken üzerinde gerçekte hiçbir etkisi olmayan (anakütle parametresi β2=0\beta_2 = 0) ve X1X_1 ile aralarında sıfırdan farklı bir örneklem korelasyonu bulunan X2X_2 değişkenini de modele dâhil ederek Yi=β^0+β^1X1i+β^2X2i+eiY_i = \hat{\beta}_0 + \hat{\beta}_1 X_{1i} + \hat{\beta}_2 X_{2i} + e_i denklemini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir.

Bu aşırı belirleme (gereksiz değişkenin modele alınması) durumunda, EKK tahmin edicilerinin özellikleri ve temel regresyon istatistikleri üzerindeki etkiler ile ilgili aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Gauss-Markov teoremine göre EKK her zaman en iyi doğrusal sapmasız tahmin edici (BLUE) olduğundan β^1\hat{\beta}_1 tahmin edicisi etkinlik özelliğini korur; modele yeni değişken eklendiğinde hata kareler toplamı azalacağından modelin açıklama gücü artar ve düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 asla düşmez.
  2. B
    β^1\hat{\beta}_1 tahmin edicisi sapmasızlığını korur fakat modele dâhil edilen her yeni değişken varyans analizindeki toplam serbestlik derecesini artıracağından, hata varyansı tahmini (σ^2\hat{\sigma}^2) her zaman daha düşük çıkarak standart hataları küçültür.
  3. β^1\hat{\beta}_1 tahmin edicisi sapmasız kalmaya devam eder ancak varyansı artarak etkinliğini kaybeder; modelin serbestlik derecesi azalırken, olağan R2R^2 değeri düşmez fakat düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 değeri azalabilir.Cevap
  4. D
    Gereksiz X2X_2 değişkeninin modele alınması bir tür spesifikasyon hatası olduğundan β^1\hat{\beta}_1 tahmin edicisi sapmalı hâle gelir; açıklayıcı değişken sayısı arttığı için hem olağan R2R^2 hem de düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 her koşulda artış gösterir.
  5. E
    Aşırı belirleme durumunda β^1\hat{\beta}_1 tahmin edicisi sapmalı ve tutarsız olur; fakat fazla değişken eklenmesi açıklanan varyansı oransal olarak artıracağından, düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 değeri matematiksel olarak her zaman olağan R2R^2 değerine eşit ya da ondan daha büyük hesaplanır.

Cevap

β^1\hat{\beta}_1 tahmin edicisi sapmasızlığını korur fakat varyansının artması nedeniyle etkinliğini yitirir; serbestlik derecesi azalır, olağan R2R^2 düşmezken düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 azalabilir.
Modele gereksiz bir değişkenin eklenmesi (aşırı belirleme), EKK tahmin edicilerinin sapmasızlık özelliğini bozmaz çünkü dışlanan bir gerekli değişken olmadığı için hata teriminin beklenen değeri hala sıfırdır. Ancak, modele eklenen yeni değişken asıl değişkenle korelasyonluysa, parametre tahminlerinin varyansı gerçek modele kıyasla büyür ve EKK tahmin edicileri minimum varyanslı olma (etkinlik) özelliğini kaybeder. Aynı zamanda, tahmin edilecek parametre sayısı arttığı için serbestlik derecesi (n−k−1n-k-1) azalır. Olağan belirtme katsayısı (R2R^2) modele yeni bir değişken eklendiğinde Hata Kareler Toplamı'nın azalması veya sabit kalması zorunluluğundan dolayı asla azalmaz. Fakat düzeltilmiş belirtme katsayısı (Rˉ2\bar{R}^2), gereksiz değişkenin modele getirdiği ufak açıklama payı serbestlik derecesindeki azalmayı (istatistiksel cezayı) karşılamadığı durumlarda kesinlikle düşüş gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Aşırı belirleme (gereksiz değişken ekleme) durumunda tahmin edicilerin beklenen değerini (sapmasızlığını) değerlendir.
E(β^1)=β1E(\hat{\beta}_1) = \beta_1 olmaya devam eder, yani sapmasızlık özelliği bozulmaz.
Modele gereksiz değişkenin eklenmesi, modelin hata terimi ile açıklayıcı değişkenler arasındaki bağımsızlık varsayımını ihlal etmez.
2
Tahmin edicilerin varyansını (etkinliğini) incele.
Tahmin edicinin varyansı 1/(1−r122)1/(1-r_{12}^2) çarpanı (Varyans Enflasyon Faktörü) nedeniyle artar, etkinlik kaybolur.
İlgisiz X2X_2 değişkeni ile X1X_1 arasında korelasyon varsa, bu durum modelde bir miktar çoklu doğrusal bağlantı etkisi yaratarak varyansı şişirir.
3
Serbestlik derecesi ve hata varyansı tahmini (σ^2\hat{\sigma}^2) üzerindeki etkiyi belirle.
Modelin serbestlik derecesi düşer (örneğin n−2n-2'den n−3n-3'e).
Modele tahmin edilecek fazladan bir parametre (β2\beta_2) eklendiği için hata serbestlik derecesi formülü (n−k−1n-k-1) gereği azalma yaşanır.
4
R2R^2 ve düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 istatistiklerinin teorik davranışını analiz et.
Olağan R2R^2 değişken eklendikçe matematiksel olarak asla azalmaz, ancak düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2 serbestlik derecesindeki kayıp nedeniyle azalabilir.
Düzeltilmiş Rˉ2\bar{R}^2, modele eklenen değişkenin sağladığı açıklayıcılık katkısı serbestlik derecesindeki kaybı (cezayı) telafi edemediğinde düşüş gösterir.

Anahtar Kavram

Aşırı Belirlemenin EKK Özelliklerine Etkisi
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Aşırı Belirleme: Gereksiz Değişkenin Modele Alınması