Examkin

Soru

Zorluk: KolayJakobiyen ve Çok Değişkenli Dönüşümler

XX ve YY sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x,y)=2,0<x<y<1f(x, y) = 2, \quad 0 < x < y < 1

Bu değişkenler üzerinde U=XYU = \frac{X}{Y} ve V=YV = Y dönüşümleri tanımlanmıştır. Buna göre, UU ve VV değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu h(u,v)h(u, v) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. h(u,v)=2v,0<u<1,0<v<1h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1Cevap
  2. B
    h(u,v)=2,0<u<1,0<v<1h(u, v) = 2, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1
  3. C
    h(u,v)=2v,0<u<1,0<v<1h(u, v) = \frac{2}{v}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1
  4. D
    h(u,v)=2v,0<u<v<1h(u, v) = 2v, \quad 0 < u < v < 1
  5. E
    h(u,v)=v,0<u<1,0<v<1h(u, v) = v, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu h(u,v)=2vh(u, v) = 2v olup tanım aralığı 0<u<10 < u < 1 ve 0<v<10 < v < 1 şeklindedir.
Verilen dönüşümde x=uvx=uv ve y=vy=v olup Jakobiyen determinantı vv olarak hesaplanır. Orijinal PDF değeri olan 2 ile bu Jakobiyen çarpıldığında 2v2v elde edilir. Destek bölgesi ise 0<uv<v<10 < uv < v < 1 kısıtlarından 0<u<10 < u < 1 ve 0<v<10 < v < 1 kare bölgesine dönüşür.

Adım Adım Çözüm

1
Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.
x=uvx = uv ve y=vy = v
Orijinal değişkenleri (xx ve yy) yeni değişkenler (uu ve vv) cinsinden ifade etmek için gereklidir.
2
Jakobiyen determinantını (JJ) hesaplayın.
J=∣∂x∂u∂x∂v∂y∂u∂y∂v∣=∣vu01∣=(v⋅1)−(u⋅0)=vJ = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} v & u \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (v \cdot 1) - (u \cdot 0) = v
Çok değişkenli dönüşümlerde olasılık kütlesinin korunması için alan ölçekleme faktörü hesaplanmalıdır.
3
Yeni olasılık yoğunluk fonksiyonunu formüle edin.
h(u,v)=f(x,y)⋅∣J∣=2⋅∣v∣=2vh(u, v) = f(x, y) \cdot |J| = 2 \cdot |v| = 2v
Orijinal PDF'de xx ve yy yerine u,vu, v cinsinden karşılıkları yazılır ve Jakobiyen ile çarpılır.
4
Yeni tanım kümesini (destek bölgesi) elde edin.
0<uv<v<10 < uv < v < 1 eşitsizliklerinden 0<u<10 < u < 1 ve 0<v<10 < v < 1 bulunur.
Orijinal sınırlardaki (0<x<y<10 < x < y < 1) kısıtlamalar yeni değişkenler üzerine taşınmalıdır.

Anahtar Kavram

Jakobiyen yöntemi ile çok değişkenli rastgele değişken dönüşümleri

Daha Fazla Pratik

Bağımsız iki Üstel dağılımlı değişkenin toplamının (U=X+YU = X + Y) dağılımını Jakobiyen yöntemiyle bulmayı deneyebilirsiniz.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Jakobiyen ve Çok Değişkenli Dönüşümler