Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇok Değişkenli Normal Dağılım

Endüstriyel bir süreçte, bir ürünün üç farklı kalite göstergesi Y1,Y2Y_1, Y_2 ve Y3Y_3 rassal değişkenleriyle modellenmektedir. Bu değişkenlerin ortak dağılımının, varyans-kovaryans matrisi Σ\boldsymbol{\Sigma} olan çok değişkenli normal dağılıma uyduğu bilinmektedir:

Σ=(42−1221−115) \boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \end{pmatrix}

Sürecin genel performansını değerlendirmek amacıyla W=2Y1−Y2+Y3W = 2Y_1 - Y_2 + Y_3 şeklinde yeni bir indeks tanımlanmıştır. Ayrıca, kalite kontrol aşamasında ilk iki göstergenin değerleri bilindiğinde, üçüncü göstergenin belirsizliğini ölçmek için Y3Y_3'ün Y1Y_1 ve Y2Y_2'ye göre koşullu varyansının hesaplanması gerekmektedir.

Buna göre, WW indeksinin varyansı ile Y3Y_3'ün koşullu varyansı (Var(Y3∣Y1,Y2)Var(Y_3 | Y_1, Y_2)) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 99 ve 52\frac{5}{2}Cevap
  2. B
    2323 ve 55
  3. C
    99 ve 152\frac{15}{2}
  4. D
    1111 ve 52\frac{5}{2}
  5. E
    11 ve 52\frac{5}{2}

Cevap

WW indeksinin varyansı 99 ve koşullu varyans 52\frac{5}{2} olarak bulunur.
Doğru cevap, çok değişkenli normal dağılımın temel özelliklerini eksiksiz uygular. Birinci değer olan WW indeksinin varyansı, aT=(2,−1,1)\mathbf{a}^T = (2, -1, 1) olmak üzere Var(W)=aTΣaVar(W) = \mathbf{a}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a} matris çarpımıyla veya doğrudan varyans özellikleri kullanılarak 99 olarak hesaplanır. İkinci değer olan koşullu varyans ise, varyans-kovaryans matrisinin uygun şekilde bloklara parçalanmasıyla elde edilen Σ11−Σ12Σ22−1Σ21\boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21} formülünün uygulanmasıyla 5−52=525 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
WW indeksinin varyansını hesaplama
Var(W)=9Var(W) = 9
WW bir lineer kombinasyondur. aT=(2,−1,1)\mathbf{a}^T = (2, -1, 1) olmak üzere, Var(W)=aTΣaVar(W) = \mathbf{a}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a} formülü kullanılır. Matris çarpımı yapıldığında Var(W)=4(22)+2(−1)2+5(12)+2(2)(2)(−1)+2(−1)(2)(1)+2(1)(−1)(1)=16+2+5−8−4−2=9Var(W) = 4(2^2) + 2(-1)^2 + 5(1^2) + 2(2)(2)(-1) + 2(-1)(2)(1) + 2(1)(-1)(1) = 16 + 2 + 5 - 8 - 4 - 2 = 9 elde edilir.
2
Koşullu varyans için matrisleri parçalama
Σ22=(4222)\boldsymbol{\Sigma}_{22} = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}, Σ12=(−11)\boldsymbol{\Sigma}_{12} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix}, Σ11=5\boldsymbol{\Sigma}_{11} = 5
Y3Y_3'ün (Y1,Y2)(Y_1, Y_2)'ye göre koşullu varyansı için genel formül Var(Y3∣Y1,Y2)=Σ11−Σ12Σ22−1Σ21Var(Y_3 | Y_1, Y_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{11} - \boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21} şeklindedir. İşlem için matris ilgili alt matrislere bölünür.
3
Koşullu varyansı hesaplama
Var(Y3∣Y1,Y2)=52Var(Y_3 | Y_1, Y_2) = \frac{5}{2}
Öncelikle Σ22\boldsymbol{\Sigma}_{22} matrisinin tersi alınır: Σ22−1=14(2−2−24)=(1/2−1/2−1/21)\boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix}. Formülde yerine konulduğunda Σ12Σ22−1Σ21=(−11)(1/2−1/2−1/21)(−11)=(−13/2)(−11)=52\boldsymbol{\Sigma}_{12} \boldsymbol{\Sigma}_{22}^{-1} \boldsymbol{\Sigma}_{21} = \begin{pmatrix} -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1/2 & -1/2 \\ -1/2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 3/2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{5}{2} bulunur. Sonuç olarak 5−52=525 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2} elde edilir.

Anahtar Kavram

Çok Değişkenli Normal Dağılımda Lineer Dönüşümler ve Koşullu Dağılımlar
Bu soruyu puanla

Konular

Çok Değişkenli Normal Dağılım