Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir siber güvenlik uzmanı, bir sunucuya günlük olarak yapılan siber saldırıların sayısının (XX), λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uyduğunu modellemektedir. Uzman, geçmiş tecrübelerine dayanarak λ\lambda parametresinin önsel (prior) dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonunu,

f(λ)=4λe−2λ,λ>0f(\lambda) = 4\lambda e^{-2\lambda}, \quad \lambda > 0

şeklinde belirlemiştir.

Rastgele seçilen 3 gün boyunca sunucuya yapılan saldırı sayıları sırasıyla 5, 4 ve 6 olarak gözlemlenmiştir.

Buna göre, karesel hata kayıp fonksiyonu altında λ\lambda parametresinin Bayes tahmin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    165\frac{16}{5}
  2. 175\frac{17}{5}Cevap
  3. C
    163\frac{16}{3}
  4. D
    55
  5. E
    172\frac{17}{2}

Cevap

Karesel hata kayıp fonksiyonu altındaki Bayes tahmin değeri 17/5'tir.
Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi, sonsal (posterior) dağılımın beklenen değeridir. Verilen önsel dağılım f(λ)∝λe−2λf(\lambda) \propto \lambda e^{-2\lambda} ve olabilirlik fonksiyonu L(λ)∝λ15e−3λL(\lambda) \propto \lambda^{15} e^{-3\lambda} çarpıldığında, sonsal dağılım π(λ∣x)∝λ16e−5λ\pi(\lambda|x) \propto \lambda^{16} e^{-5\lambda} elde edilir. Bu form α=17\alpha=17 ve β=5\beta=5 (oran) parametreli bir Gamma dağılımına aittir. Gamma dağılımının beklenen değeri α/β\alpha/\beta formülüyle hesaplandığından sonuç 17/517/5 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen veriler için olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu oluşturun.
L(λ∣x)∝∏i=13e−λλxixi!∝e−3λλ15L(\lambda | x) \propto \prod_{i=1}^3 \frac{e^{-\lambda} \lambda^{x_i}}{x_i!} \propto e^{-3\lambda} \lambda^{15}
Bayes teoreminde kullanılmak üzere örneklemin getirdiği bilgiyi matematiksel olarak ifade etmek için olabilirlik fonksiyonu gereklidir.
2
Önsel (prior) dağılım ile olabilirlik fonksiyonunu çarparak sonsal (posterior) dağılımın orantılı olduğu fonksiyonu bulun.
π(λ∣x)∝(λ15e−3λ)⋅(4λe−2λ)∝λ16e−5λ\pi(\lambda | x) \propto (\lambda^{15} e^{-3\lambda}) \cdot (4\lambda e^{-2\lambda}) \propto \lambda^{16} e^{-5\lambda}
Bayes teoremine göre sonsal dağılım, önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonunun çarpımı ile orantılıdır.
3
Elde edilen ifadenin hangi dağılıma ait olduğunu belirleyin.
λ16e−5λ\lambda^{16} e^{-5\lambda} ifadesi, α=17\alpha=17 ve β=5\beta=5 (oran) parametreli bir Gamma dağılımının çekirdeğidir. Yani, λ∣x∼Gamma(17,5)\lambda | x \sim Gamma(17, 5).
Sonsal dağılımın parametrelerini kesinleştirmek, ilgilenilen tahmin edicileri hesaplamak için şarttır.
4
Karesel hata kayıp fonksiyonuna göre Bayes tahmin edicisini hesaplayın.
λ^B=E[λ∣x]=αβ=175\hat{\lambda}_B = E[\lambda | x] = \frac{\alpha}{\beta} = \frac{17}{5}
Karesel hata kayıp fonksiyonu altında riski minimize eden tahmin edici, sonsal dağılımın beklenen değeridir (ortalamasıdır).

Anahtar Kavram

Bayes Tahmin Yöntemi ve Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru