Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) uzmanları, ülkedeki işletmelerin yenilikçilik kapasiteler… — KPSS İstatistik

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) uzmanları, ülkedeki işletmelerin yenilikçilik kapasitelerini ölçmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme tasarımı planlamaktadır. Kitle, işletme büyüklüklerine göre $L$ adet tabakaya ayrılmış ve her tabakadaki işletme sayısı ( $N_h$ ) birbirinden farklı bulunmuştur ( $N_1 \neq N_2 \neq \dots \neq N_L$ ).

Maliyetlerin her tabakada eşit olduğu varsayımı altında, uzmanlar toplam $n$ hacimli örneklemi tabakalara eşit dağıtım ( $n_h = \frac{n}{L}$ ) yöntemiyle paylaştırmıştır. Araştırma sonucunda, seçilen bu eşit dağıtım yönteminin kitle ortalamasını tahmin etmede optimum dağıtım (Neyman dağıtımı) ile tamamen aynı varyansı ürettiği ve maksimum etkinliğe ulaştığı matematiksel olarak ispatlanmıştır.

Buna göre, bu kitledeki tabaka varyansları ( $S_h^2$ ) ile tabaka büyüklükleri ( $N_h$ ) arasındaki teorik ilişki aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?

Tabaka varyansları, tabaka büyüklüklerinin karesi ile ters orantılıdır.Cevap
B
Tabaka varyansları, tüm tabakalarda birbirine eşittir.
C
Tabaka varyansları, tabaka büyüklükleri ile doğru orantılıdır.
D
Tabaka varyansları, tabaka büyüklükleri ile ters orantılıdır.
E
Tabaka standart sapmaları, tabaka büyüklükleri ile doğru orantılıdır.

Cevap

Tabaka varyanslarının, tabaka büyüklüklerinin karesi ile ters orantılı olduğu ifade

Neyman (optimum) dağıtımında örneklem, tabaka büyüklüğü ve tabaka standart sapmasının çarpımı (

N_h S_h

) ile orantılı olarak dağıtılır. Eşit dağıtımın optimum olabilmesi için bu çarpımın tüm tabakalarda birbirine eşit (sabit) olması zorunludur.

N_h S_h = C

denkleminden

S_h = C / N_h

elde edilir. İki tarafın karesi alındığında tabaka varyansının (

S_h^2

), tabaka büyüklüğünün karesi (

N_h^2

) ile ters orantılı olduğu açıkça görülür.

Adım Adım Çözüm

Neyman dağıtımı (maliyetlerin eşit olduğu optimum dağıtım) formülünü yaz

n_h = n \frac{N_h S_h}{\sum N_i S_i}

Soruda eşit dağıtımın Neyman dağıtımı ile aynı sonucu verdiği belirtilmiştir.

Eşit dağıtım formülünü yaz

n_h = \frac{n}{L}

Eşit dağıtımda toplam örneklem hacmi tabaka sayısına (L) bölünür.

İki formülü birbirine eşitleyerek ilişkiyi kur

n \frac{N_h S_h}{\sum N_i S_i} = \frac{n}{L} \implies N_h S_h = \frac{\sum N_i S_i}{L}

İki yöntemin aynı örneklem dağılımını vermesi için n_h değerlerinin birbirine eşit olması gerekir.

Elde edilen eşitliği analiz et

N_h S_h = \text{Sabit (C)}

\implies

S_h = \frac{C}{N_h}

Eşitliğin sağ tarafı belirli bir kitle için h indisinden bağımsız bir sabittir. Bu, tabaka standart sapmasının tabaka büyüklüğü ile ters orantılı olduğunu gösterir.

Standart sapma ilişkisini varyansa dönüştür

S_h^2 = \frac{C^2}{N_h^2} \implies S_h^2 \propto \frac{1}{N_h^2}

Soru tabaka varyansları (

S_h^2

) ile tabaka büyüklükleri (

N_h

) arasındaki ilişkiyi sormaktadır. Her iki tarafın karesi alındığında varyansın, büyüklüğün karesiyle ters orantılı olduğu bulunur.

Anahtar Kavram

Optimum (Neyman) Dağıtım ve Eşit Dağıtım İlişkisi

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru