Examkin

Soru

Zorluk: ZorBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir sigorta şirketinde çalışan aktüer, belirli bir poliçe türü için günlük gelen hasar taleplerinin sayısının (XX), θ\theta parametreli Poisson dağılımına uyduğunu varsaymaktadır. Aktüerin θ\theta parametresi hakkındaki önsel (prior) bilgisi, şekil parametresi α=4\alpha = 4 ve oran (rate) parametresi β=2\beta = 2 olan Gamma dağılımı ile ifade edilmektedir.

Rastgele seçilen n=3n=3 günlük bir dönemde gelen hasar talepleri sırasıyla 55, 44 ve 66 olarak gözlemlenmiştir.

Buna göre, aktüerin "sıfır-bir (zero-one) kayıp fonksiyonu" kullandığı varsayıldığında θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

(Not: Şekil parametresi α\alpha ve oran parametresi β\beta olan Gamma dağılımının olasılık yoğunluk fonksiyonu f(x)=βαΓ(α)xα−1e−βx,x>0f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x}, x>0 şeklindedir.)

  1. 3,63,6Cevap
  2. B
    3,83,8
  3. C
    5,05,0
  4. D
    3,03,0
  5. E
    4,04,0

Cevap

Sıfır-bir kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi sonsal (posterior) dağılımın moduna eşittir ve bu değer 3,63,6'dır.
Doğru yanıt olan 3,63,6, α=19\alpha=19 ve β=5\beta=5 parametrelerine sahip sonsal Gamma dağılımının mod değeridir. Sürekli parametre uzaylarında sıfır-bir kayıp fonksiyonu (zero-one loss), sonsal riski minimize etmek için sonsal dağılım olasılığının en yüksek olduğu noktayı, yani MAP (Maximum A Posteriori) tahmin edicisi olan modu seçer. Bu soruda Gamma(19, 5) dağılımının modu (19−1)/5=3,6(19-1)/5 = 3,6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluştur.
L(θ)∝∏i=13e−θθxi∝e−3θθ15L(\theta) \propto \prod_{i=1}^3 e^{-\theta} \theta^{x_i} \propto e^{-3\theta} \theta^{15}
Örneklemdeki n=3n=3 gözlemin (5, 4 ve 6) toplamı ∑xi=15\sum x_i = 15'tir. Ortak olasılık fonksiyonu (olabilirlik), Bayes teoreminin veri kanıtı kısmıdır.
2
Önsel (Prior) dağılımın çekirdeğini belirle.
π(θ)∝θα−1e−βθ=θ4−1e−2θ=θ3e−2θ\pi(\theta) \propto \theta^{\alpha-1} e^{-\beta\theta} = \theta^{4-1} e^{-2\theta} = \theta^3 e^{-2\theta}
Sonsal dağılımı bulmak için önsel dağılımın θ\theta'ya bağlı kısmı olabilirlik ile çarpılacaktır.
3
Sonsal (Posterior) dağılımı hesapla.
π(θ∣x)∝(θ3e−2θ)(e−3θθ15)=θ18e−5θ\pi(\theta|x) \propto (\theta^3 e^{-2\theta}) (e^{-3\theta} \theta^{15}) = \theta^{18} e^{-5\theta}. Bu dağılım şekil parametresi αpost=19\alpha_{post} = 19 ve oran parametresi βpost=5\beta_{post} = 5 olan bir Gamma(19, 5) dağılımıdır.
Bayes teoremine göre sonsal dağılım, önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonunun çarpımıyla orantılıdır.
4
Sıfır-bir kayıp fonksiyonuna göre Bayes tahmin edicisini bul.
Sıfır-bir kayıp fonksiyonu sonsal modu (MAP - Maximum A Posteriori) gerektirir. Gamma dağılımının modu αpost−1βpost\frac{\alpha_{post}-1}{\beta_{post}} formülüyle bulunur: 19−15=185=3,6\frac{19-1}{5} = \frac{18}{5} = 3,6.
Kayıp fonksiyonunun türü, sonsal dağılımdan hangi istatistiğin (ortalama, mod, medyan) seçileceğini belirler. Sıfır-bir kayıp fonksiyonu dağılımın tepe noktasını seçer.

Anahtar Kavram

Bayes Tahmin Yöntemi ve Kayıp Fonksiyonları
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru