Examkin

Soru

Zorluk: ZorYapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Bir tarım müdürlüğü, çiftçilere dağıtılacak tohum ve gübre destek paketlerini planlamak için aşağıdaki doğrusal programlama modelini kurmuştur:

min⁡Z=10x1+15x2 \min Z = 10x_1 + 15x_2
Kısıtlar:
x1+x2≥10(Minimum destek kotası) x_1 + x_2 \geq 10 \quad \text{(Minimum destek kotası)}
2x1+x2=12(Bu¨tc¸e denklik kısıtı) 2x_1 + x_2 = 12 \quad \text{(Bütçe denklik kısıtı)}
x1≤8(Stok sınırı) x_1 \leq 8 \quad \text{(Stok sınırı)}
x1,x2≥0 x_1, x_2 \geq 0

Bu model, başlangıç uygun temel çözümü bulmak amacıyla İki Evreli (Two-Phase) yöntem kullanılarak çözülecektir. Karar verici, birinci evre (Phase 1) için modeli standart forma dönüştürürken; birinci kısıt için s1s_1 artık (surplus) ve a1a_1 yapay değişkenini, ikinci kısıt için a2a_2 yapay değişkenini, üçüncü kısıt için ise s2s_2 aylak (slack) değişkenini modele eklemiştir.

Birinci evrenin amacı yapay değişkenlerin toplamını minimize etmek (min⁡W \min W ) olarak belirlenmiştir.

Buna göre, birinci evrenin başlangıç simpleks tablosu oluşturulurken temel değişkenlerin (a1a_1 ve a2a_2) sıfırıncı satırdaki (WW amaç fonksiyonu satırı) katsayılarını sıfırlamak için yapılan cebirsel işlemler sonucunda, tabloya yazılacak olan **WW satırı denklemi** aşağıdakilerden hangisidir?

  1. W+3x1+2x2−s1=22W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22Cevap
  2. B
    W+3x1+2x2+s1=22W + 3x_1 + 2x_2 + s_1 = 22
  3. C
    W−3x1−2x2+s1=22W - 3x_1 - 2x_2 + s_1 = 22
  4. D
    W−3x1−2x2+s1=−22W - 3x_1 - 2x_2 + s_1 = -22
  5. E
    W+10x1+15x2=0W + 10x_1 + 15x_2 = 0

Cevap

İki evreli yöntemin birinci evresi için hazırlanan başlangıç simpleks tablosunda doğru W satırı denklemi W+3x1+2x2−s1=22W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22 şeklinde olmalıdır.
İki evreli yöntemin birinci evresinde amaç, eklenen yapay değişkenlerin toplamını minimize etmektir (min W = a_1 + a_2). Kısıtlardan yapay değişkenler çekildiğinde a_1 = 10 - x_1 - x_2 + s_1 ve a_2 = 12 - 2x_1 - x_2 bulunur. Bunlar W fonksiyonunda yerine yazıldığında W = 22 - 3x_1 - 2x_2 + s_1 elde edilir. Simpleks tablosuna aktarım için tüm değişkenler eşitliğin sol tarafına taşındığında işaretleri değişir ve doğru denklem olan W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22 denklemi bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Kısıtları standart forma dönüştür.
1. Kısıt: x1+x2−s1+a1=10x_1 + x_2 - s_1 + a_1 = 10
2. Kısıt: 2x1+x2+a2=122x_1 + x_2 + a_2 = 12
3. Kısıt: x1+s2=8x_1 + s_2 = 8
Yapay değişkenler (a_1 ve a_2), büyük eşit ve eşitlik kısıtlarında başlangıç temel çözümünü sağlamak için eklenir. Büyük eşit kısıtından ayrıca artık değişken (-s_1) çıkarılır.
2
Birinci evre amaç fonksiyonunu (W) tanımla ve yapay değişkenleri yalnız bırak.
Amacımız: min⁡W=a1+a2\min W = a_1 + a_2
Kısıtlardan:
a1=10−x1−x2+s1a_1 = 10 - x_1 - x_2 + s_1
a2=12−2x1−x2a_2 = 12 - 2x_1 - x_2
Simpleks tablosunda temel değişkenlerin sıfırıncı satırdaki katsayıları sıfır olmalıdır. Bu yüzden W fonksiyonundaki a_1 ve a_2 yerine kısıtlardaki eşitlikleri yazılmalıdır.
3
Yalnız bırakılan ifadeleri W fonksiyonunda yerine koy.
W=(10−x1−x2+s1)+(12−2x1−x2)W = (10 - x_1 - x_2 + s_1) + (12 - 2x_1 - x_2)
W=22−3x1−2x2+s1W = 22 - 3x_1 - 2x_2 + s_1
Bu işlem, W amaç fonksiyonunu temel olmayan değişkenler (x1,x2,s1x_1, x_2, s_1) cinsinden ifade etmemizi sağlar.
4
Denklemi simpleks tablosu formatına uygun hale getir.
Tüm değişkenleri sol tarafa, sabit sayıyı sağ tarafa alarak:
W+3x1+2x2−s1=22W + 3x_1 + 2x_2 - s_1 = 22 elde edilir.
Simpleks tablosu sıfırıncı satırına katsayıları aktarabilmek için tüm değişkenlerin eşitliğin aynı tarafında toplanması standart prosedürdür.

Anahtar Kavram

İki Evreli Yöntemde (Two-Phase Method) birinci evre amaç fonksiyonunun (W) kurulması ve temel değişkenlerin sıfırıncı satırdan yok edilerek başlangıç tablosuna aktarılması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Yapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Bu konudan daha fazla soru