Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişen Varyans Tespiti (Testler) ve Giderme Yöntemleri

Bir sağlık ekonomisti, hastanelerin yıllık işletme maliyetlerini (YiY_i); yatak kapasitesi (X1iX_{1i}) ve ayakta tedavi gören hasta sayısı (X2iX_{2i}) ile açıklayan aşağıdaki doğrusal regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Yi=β0+β1X1i+β2X2i+uiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Yapılan kalıntı (artık) analizi ve White testi sonucunda, hata terimlerinin varyansının, yatak kapasitesinin karesiyle orantılı olarak değiştiği (Var(ui)=σ2X1i2Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2) tespit edilmiştir.

Buna göre, karşılaşılan değişen varyans (heteroskedastisite) sorununu gidermek ve tahmin edicilerin yeniden minimum varyanslı (etkin) olmasını sağlamak amacıyla uygulanması gereken en uygun yönteme ve sorunun niteliğine ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. Modeldeki tüm terimler (sabit terim de dâhil olmak üzere) X1iX_{1i} bağımsız değişkenine bölünerek dönüştürülmeli ve elde edilen eş varyanslı yeni model üzerinden Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK) tahmini yapılmalıdır.Cevap
  2. B
    Sorunun varlığını doğrulamak için Durbin-Watson dd istatistiği kullanılmalı ve tespit edildikten sonra değişkenlerin birinci farkları alınarak model yeniden tahmin edilmelidir.
  3. C
    Değişen varyans altında En Küçük Kareler tahmin edicileri sapmasızlık ve en küçük varyans (etkinlik) özelliklerini korumaya devam ettiği için, modele matematiksel bir dönüştürme uygulanmasına gerek yoktur.
  4. D
    Değişen varyans problemi tahmin edicilerin sapmalı hâle gelmesine yol açtığı için, Varyans Şişme Faktörü (VIF) değerine bakılarak soruna neden olan X1iX_{1i} değişkeni modelden çıkarılmalıdır.
  5. E
    Sorunun kaynağı olan X1iX_{1i} değişkeni modelden tamamen dışlanmalı, böylece En Küçük Kareler tahmin edicileri etkinliğini kaybetse bile sapmasız olma özelliğini yeniden kazanmalıdır.

Cevap

Modeldeki tüm terimlerin X1iX_{1i} bağımsız değişkenine bölünmesiyle oluşturulan Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK) tahmini, eş varyanslılık varsayımını sağlayarak en uygun çözümü sunar.
Verilen modelde hata teriminin varyansı X1i2X_{1i}^2 ile orantılıdır. Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK/WLS) yöntemi gereğince, sorunu ortadan kaldırmak için eşitliğin her iki tarafı ağırlıklandırma faktörü olan X1iX_{1i}'ye (kareköküne) bölünmelidir. Bu sayede uiX1i\frac{u_i}{X_{1i}} olan yeni hata teriminin varyansı Var(uiX1i)=1X1i2Var(ui)=1X1i2σ2X1i2=σ2Var(\frac{u_i}{X_{1i}}) = \frac{1}{X_{1i}^2} Var(u_i) = \frac{1}{X_{1i}^2} \sigma^2 X_{1i}^2 = \sigma^2 olarak sabitlenir (eş varyanslı olur) ve tahmin ediciler etkinliğini geri kazanır.

Adım Adım Çözüm

1
Hata varyansının yapısal formunun analiz edilmesi
Soruda hata varyansının Var(ui)=σ2X1i2Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2 şeklinde olduğu tespit edilmiştir.
Uygulanacak Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK/WLS) dönüştürme faktörünü belirlemek için varyansın fonksiyonel formu bilinmelidir.
2
Uygun dönüştürme (ağırlıklandırma) faktörünün bulunması
Dönüştürme işleminde modelin her iki tarafı, değişen varyans ifadesinin kareköküne, yani X1i2=X1i\sqrt{X_{1i}^2} = X_{1i}'ye bölünmelidir.
Orijinal regresyon modeli X1iX_{1i}'ye bölündüğünde, yeni hata terimi νi=uiX1i\nu_i = \frac{u_i}{X_{1i}} olur ve bu terimin varyansı Var(νi)=1X1i2Var(ui)=1X1i2σ2X1i2=σ2Var(\nu_i) = \frac{1}{X_{1i}^2} Var(u_i) = \frac{1}{X_{1i}^2} \sigma^2 X_{1i}^2 = \sigma^2 olarak sabitlenir.
3
Elde edilen yeni modelin değerlendirilmesi
Yeni model: YiX1i=β0X1i+β1+β2X2iX1i+uiX1i\frac{Y_i}{X_{1i}} = \frac{\beta_0}{X_{1i}} + \beta_1 + \beta_2 \frac{X_{2i}}{X_{1i}} + \frac{u_i}{X_{1i}} biçimine dönüşür ve En Küçük Kareler yöntemiyle eş varyanslı olarak tahmin edilebilir.
Eş varyanslılık sağlandığı için EKK (Gauss-Markov) varsayımları yeniden geçerli hâle gelir ve tahmin ediciler tekrar minimum varyanslı (etkin) olur.

Anahtar Kavram

Değişen Varyans Durumunda Ağırlıklı En Küçük Kareler (AEKK) Dönüştürmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Değişen Varyans Tespiti (Testler) ve Giderme Yöntemleri