Examkin

Soru

Zorluk: KolayRastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı

İki sürekli rastgele değişkenin (XX ve YY) bağımsız olabilmesi için temel matematiksel şartlardan biri, ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin (destek kümesi) bir kartezyen çarpım kümesi (dikdörtgensel bölge) olmasıdır. Bir başka deyişle, bir değişkenin alabileceği değerlerin sınırları, diğer değişkenin değerine bağlı olmamalıdır.

Buna göre, aşağıda verilen tanımlı aralıklardan hangisi XX ve YY değişkenlerinin kesinlikle bağımlı olduğunu gösterir?

  1. A
    0<x<10 < x < 1 ve 0<y<10 < y < 1
  2. B
    x>0x > 0 ve y>0y > 0
  3. 0<x<y<10 < x < y < 1Cevap
  4. D
    1<x<51 < x < 5 ve 2<y<42 < y < 4
  5. E
    −∞<x<∞-\infty < x < \infty ve −∞<y<∞-\infty < y < \infty

Cevap

X'in üst sınırının Y'ye bağlı olduğu 0<x<y<10 < x < y < 1 durumu, değişkenlerin kesinlikle bağımlı olduğunu gösterir.
İki sürekli rastgele değişkenin bağımsız olabilmesi için ortak olasılık yoğunluk fonksiyonunun tanımlı olduğu bölgenin bir dikdörtgen olması zorunludur. Belirtilen seçenekler arasında sadece 0<x<y<10 < x < y < 1 ifadesi bir üçgen belirtmektedir; burada xx'in alabileceği değerler yy'nin o anki değerine bağlı olarak değiştiği için değişkenler kesinlikle bağımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Bağımsızlık için bölge şartını kontrol et
Bağımsız değişkenler için f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y) olmalıdır.
Eğer fonksiyon çarpanlarına ayrılabiliyorsa, bu fonksiyonun tanımlı olduğu bölge de her iki eksende bağımsız aralıkların çarpımı (a<x<ba < x < b ve c<y<dc < y < d) olmalıdır.
2
Seçeneklerdeki sınır bağımlılıklarını incele
0<x<y<10 < x < y < 1 aralığında xx değişkeni 00 ile yy arasında değer almaktadır.
Sınırlarda bir değişkenin sembolü (burada yy) yer alıyorsa, marjinal olasılık hesaplanırken integral sınırları bu değişkene bağlı kalacaktır, bu da bağımlılık yaratır.
3
Geometrik yorum yap
Üçgensel bölge bağımlılığı simgeler.
Dikdörtgen olmayan (üçgen, daire vb.) destek kümeleri, değişkenlerin değer aralıklarının birbirini kısıtladığı anlamına gelir.

Anahtar Kavram

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı ve Destek Kümesi İlişkisi

İpuçları

1
Değişkenlerin sınırlarında diğer değişkenin adının geçip geçmediğine bakın.
2
Bağımsızlık için xx ve yy eksenleri üzerinde çizilen bölgenin bir dikdörtgen (veya tüm düzlem) olması gerekir.

Daha Fazla Pratik

Bağımsızlık durumunda E[XY]=E[X]E[Y]E[XY] = E[X]E[Y] ve Cov(X,Y)=0Cov(X,Y) = 0 özelliklerini hatırlayınız.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Rastgele Değişkenlerin Bağımsızlığı