Examkin

Soru

Zorluk: KolayKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Bir yatırım fonunun günlük getiri oranındaki sapma miktarı XX kesikli rastgele değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx−1-10011
P(X=x)P(X=x)0,200,200,500,500,300,30

Fon yöneticisi, getirideki oynaklığı analiz etmek için Y=X2Y = X^2 dönüşümünü kullanmaktadır. Buna göre, YY rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. P(Y=0)=0,50P(Y=0) = 0,50 ve P(Y=1)=0,50P(Y=1) = 0,50Cevap
  2. B
    P(Y=−1)=0,20P(Y=-1) = 0,20, P(Y=0)=0,50P(Y=0) = 0,50 ve P(Y=1)=0,30P(Y=1) = 0,30
  3. C
    P(Y=0)=0,50P(Y=0) = 0,50 ve P(Y=1)=0,30P(Y=1) = 0,30
  4. D
    P(Y=0)=0,30P(Y=0) = 0,30 ve P(Y=1)=0,70P(Y=1) = 0,70
  5. E
    P(Y=1)=1,00P(Y=1) = 1,00

Cevap

P(Y=0)=0,50P(Y=0) = 0,50 ve P(Y=1)=0,50P(Y=1) = 0,50 değerlerini içeren dağılım doğrudur.
Doğru cevapta, Y=X2Y=X^2 dönüşümü sonucu X=0X=0 için Y=0Y=0 elde edilirken, X=−1X=-1 ve X=1X=1 için Y=1Y=1 elde edilmektedir. Y=1Y=1 olasılığı, bu iki durumun olasılıkları toplamı olan 0,20+0,30=0,500,20 + 0,30 = 0,50 olarak hesaplanır. Böylece P(Y=0)=0,50P(Y=0)=0,50 ve P(Y=1)=0,50P(Y=1)=0,50 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Y=X2Y = X^2 dönüşümü için YY değişkeninin alabileceği değerleri (destek kümesini) belirleyin.
X∈{−1,0,1}X \in \{-1, 0, 1\} ise Y∈{(−1)2,02,12}={1,0,1}Y \in \{(-1)^2, 0^2, 1^2\} = \{1, 0, 1\}. Yani YY sadece 00 ve 11 değerlerini alabilir.
Dönüşüm fonksiyonu, bağımsız değişkenin her değerini yeni bir değer setine eşler.
2
YY değişkeninin her bir değeri için karşılık gelen XX değerlerinin olasılıklarını toplayın.
P(Y=0)=P(X=0)=0,50P(Y=0) = P(X=0) = 0,50 ve P(Y=1)=P(X=−1)+P(X=1)=0,20+0,30=0,50P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,20 + 0,30 = 0,50.
Y=1Y=1 durumu hem X=−1X=-1 hem de X=1X=1 durumunda gerçekleştiği için bu iki ayrık olayın olasılığı toplanmalıdır.
3
Elde edilen olasılıkların toplamının 11 olduğunu kontrol edin.
0,50+0,50=1,000,50 + 0,50 = 1,00.
Geçerli bir olasılık kütle fonksiyonunun tüm değerler üzerindeki toplamı 11 olmalıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler ve Olasılıkların Toplanması

Daha Fazla Pratik

Değişkenin tanım kümesi bire-bir olmayan bir fonksiyonla dönüştürüldüğünde (mutlak değer gibi), hangi değerlerin çakıştığına dikkat ederek soru çözmeye devam edin.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler